Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,

— фиксированный вектор.

Обозначим j = j(M) — угол между векторами AB и

(рис. 1).

Ненулевой вектор

называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если

Точка поверхности F(x,y,z) = 0 называется обыкновенной, если в этой точке

1. частные производные F'_x , F'_y , F'_z непрерывны;

2. (F'_x)² + (F'_y)² + (F'_z)² ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.

Теорема 1. Если M(x₀, y₀, z₀) — обыкновенная точка поверхности F(x,y,z) = 0 , то вектор

является нормальным к этой поверхности в точке M(x₀, y₀, z₀) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке a(x₀, y₀) . Ее графиком является поверхность

f(x,y) − z = 0.

Положим z₀ = f(x₀, y₀) . Тогда точка A(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F(x, y, z) = f(x, y) − z суть

F'_x = f'_x, F'_y = f'_y, F'_z = − 1

и в точке A(x₀, y₀, z₀)

1. они непрерывны;

2. F'²_x + F'²_y + F'²_z = f'²_x + f'²_y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F(x, y, z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f'_x(x₀, y₀) (x − x₀) + f'_y(x₀, y₀) (y − y₀) − (z − z₀) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a(x₀, y₀) в произвольную точку p(x, y) есть BQ (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

(z − z₀) = f'_x(x₀, y₀) (x − x₀) + f'_y(x₀, y₀) (y − y₀)

Здесь в правой части стоит дифференциал d z функции z = f(x,y) в точке a(x₀, x₀). Следовательно,
d f(x₀, y₀). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f(x, y) в точке (x₀, y₀, z₀ = f(x₀, y₀)).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a.