Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Вопрос о закономерностях развития математики тесно связан с вопро­сом о природе математического знания. Ответ же на последний вопрос объективно труден. Дело в том, что математика — наука многоуровне­вая. Одному ее уровню (его иногда называют практической математи­кой) принадлежат вычислительные процедуры, предметом которых яв­ляются количественные характеристики вешей, вовлеченных в общественную практику. Возникая из практики, практическая матема­тика именно в ней находит свое применение и в конечном итоге — оп­равдание своего существования. Другому, теоретическому, уровню при-

¹ Впервые эта концепция была предложена А.Н Колмогоровым в статье «Математи­
ка», написанной для 1-го издания БСЭ. См.: Колмогоров А.Н. Математика//БСЭ. М., 1938.
Т. 38. С. 359-402.

² Подробнее см.: Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-
математические исследования. Вторая серия. М., 2001. Вып. 6 (41). С. 277—284. В этой ра­
боте объясняется также, почему египетские геометры не могли испытывать потребности в
аксиоматическом изложении своих результатов.

1.3. Закономерности развития математики                                            35

надлежит математические методы, целью которых является решение за­дач, прямо не связанных с практикой, но возникающих в сфере самой математики¹. На теоретическом уровне также целесообразно выделить два подуровня: теоретическая математика, не связанная с аксиоматиза­цией, и теоретическая математика, опирающаяся на аксиоматике -де­дуктивный метод. В последнем случае мы имеем дело с дисциплиной, объекты которой носят идеальный характер.

Различие между уровнями или ветвями математики необходимо вле­чет и различие в используемых методах. В практической математике во главу угла ставится эффективность количественных методов при реше­нии тех или иных конкретных специальных задач. При этом ценность того или иного метода подсчета совершенно не зависит от степени его общности (пусть метод эффективно работает в данной конкретной ситу­ации, в другой можно придумать иной метод), а чисто математическая строгость зачастую приносится в жертву, особенно в тех случаях, когда путем нестрогих рассуждений быстро получается практически значи­мый результат. В теоретической математике, напротив, стремятся обес­печить наивысшую степень общности развиваемых методов и соблюсти максимальную логическую строгость рассуждений, используя для этой цели аксиоматический метод.

Поскольку целевые установки практической и теоретической мате­матики различны, вопрос о закономерностях развития математики как целого (включающего оба уровня) может быть решен только после отве­та на принципиальный вопрос о том, как эти уровни соотносятся между собой. Последний же вопрос не может быть решен чисто умозритель­ным путем, без учета специфики того или иного конкретно-историчес­кого этапа развития математики.

Прежде всего отметим, что практическая и теоретическая математи­ка различны по происхождению. Практическая математика, обслужива­ющая хозяйственные операции, в той или иной форме возникает во всех древних цивилизациях (древневавилонской, египетской, китайской, индийской и др.), причем на весьма ранних ступенях их развития. Так, первые известные нам шумерские тексты экономико-математического содержания относятся к третьему тысячелетию до н.э. Что же касается теоретической математики, то ее доаксиоматическая ветвь возникает в целом ряде древних цивилизаций (например, древневавилонской или китайской) и связана с фактором социального характера — становлени­ем специального математического образования («математика школы»), К этой ветви относятся, например, методы решения квадратных уравне-

Отметим, что древние греки называли указанные уровни математики по-разному. Математикой они называли лишь теоретическую ее ветвь, а практическую звали логисти­кой (искусством вычислений).

36                                       1. Философские проблемы математики

ний, изучавшиеся в древневавилонских писцовых школах. Сами эти ме­тоды не имели практического применения, но служили средством про­верки правильности вычислений при обучении. Что же касается аксио­матической ветви теоретической математики, то ее возникновение — явление уникальное, поскольку своим рождением она обязана особой культурно-исторической ситуации, сложившейся в V в. до н.э. в Древней Греции. Сказанное выше приводит нас к необходимости выделения не­скольких исторических периодов в развитии математики, для каждого из которых характерны разные формы взаимоотношения ветвей матема­тики, а значит, и свои закономерности развития.

Содержание первого периода — до появления математики теоретичес­кой — состоит преимущественно в разработке вычислительных процедур, относящихся к практической математике. В этот период развитие матема­тики определяется влиянием внешних, в первую очередь экономических, факторов и говорить о его закономерностях можно лишь в связи с общи­ми закономерностями социально-экономических изменений, специфи­ческих для той или иной цивилизации.

С появлением доаксиоматических форм теоретической математики начинается второй период, для которого характерно тесное взаимодейст­вие практически ориентированных вычислительных методов с развитием в рамках системы образования теоретических методов решения собствен­но математических проблем.

Третий период в развитии математики связан с появлением на исто­рической сцене аксиоматической ветви теоретической математики, ко­торой впоследствии было суждено существенно изменить взаимоотно­шения между практической и теоретической математикой¹. Этот период можно также разбить на два этапа. Первый, продолжавшийся в Европе примерно до середины XVII в., характеризуется относительно независи­мым развитием двух ветвей математики — практической и теоретичес­кой. Несмотря на начавшиеся еще в эллинистическую эпоху процессы контаминации и диффузии, как теоретическая, так и практическая ма­тематика (за исключением разве что арабской цивилизации) в целом ос­тавалась самостоятельной дисциплиной, причем каждая из них развива­лась по своим собственным законам. Практическая математика, как это свойственно ей, «отслеживала» особенности социально-экономическо­го развития, достигая своих вершин в условиях, когда без нее невозмож­но было обойтись (как, например, в итальянских городах-государствах XV в. вследствие бурного развития торговли и банковского дела). Парал­лельно с ней, следуя потребностям школьного образования, развивалась

¹ В Древней Греции этот период продолжался до IV в. до н.э. В других культурах — ки­тайской, индийской и др. — до XVII—XIX вв., когда восточная математика была «погло­щена» математикой европейской.

1.3. Закономерности развития математики                                            37

неаксиоматическая ветвь теоретической математики. Что же касается аксиоматической ветви, то она с самого своего рождения (или даже чуть раньше, уже в пифагорейской школе) пристально внимала философско-религиозным императивам современной ей эпохи и в соответствии с ни­ми развивала свои скрытые потенции. Отметим, что в рассматриваемую эпоху обособление одной из ветвей математики от другой отражалось и на математическом образовании. Практической математике обычно обучали в рамках того ремесла, в котором эта математика применялась (землемерие, строительство, банковское дело и т.д.), теоретической — в элитных учебных заведениях (Академии Платона, Лицее Аристотеля, средневековых университетах).

Второй этап взаимоотношений между практической и теоретической математикой оформляется в XVII в., когда в рамках теоретической мате­матики появляются модели, служащие для количественного описания физического мира, а затем, с XIX в., и технических устройств. Начиная с этого времени наблюдается устойчивая тенденция вытеснения практиче­ской математики (как самостоятельной дисциплины) и ее превращения в так называемую прикладную математику, т.е. раздел чистой математики, из которого черпаются модели для различных ее приложений¹.

Указанная тенденция приводит к тому, что развитие математики в этот период (продолжающийся и по сей день) сводится, по сути, к про­грессу математики теоретической. При этом сама «чистая» математика все более и более ориентируется на аксиоматико-дедуктивный метод. Последнее обстоятельство находит свое теоретическое (философское) выражение и обоснование в рамках различных форм априоризма, в ко­нечном итоге восходящих к точке зрения на математику И. Канта. Со­гласно Канту, математика — точнее, один из ее разделов, составляющий своеобразное ядро этой науки, — обладает безусловной (аподиктичес­кой) достоверностью, т.е. в принципе не может подвергаться трансфор­мациям, затрагивающим ее сущность. Отсюда с необходимостью следу­ет, что развитие математики (или ее аподиктического ядра) не может носить революционного характера (как это свойственно физике), но сводится исключительно к накоплению результатов (кумулятивный рост) за счет внутренних причин. Две тенденции наличествуют в таком развитии математики: она приобретает все более общий характер (см.

«Математика едина. Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математика явля­ются частями единого целого, называемого математикой, что эти части невозможно отде­лить одну от другой» {Л.Д. Кудрявцев. Современная математика и ее преподавание. М., 1980. С. 74). Далее автор пишет об общей сущности чистой и прикладной математики, «за­ключающейся в изучении математических структур, в общности методов, применяемых Для изучения этих структур, о невозможности изучать прикладные математические науки без знания понятий чистой математики...» (Там же. С. 15).

38                                        1. Философские проблемы математики

выделение трех базисных математических структур у Н. Бурбаки¹) и од­новременно разрастается вширь. Причем создание все более общих, аб­страктных структур идет параллельно с поиском их (сугубо математиче­ских) интерпретаций (т.е. экстенсивным расширением математики). Оправданием для введения все более абстрактных идеализации стано­вится возможность их истолкования в терминах идеализации более низ­кого уровня.

Ряд признаков свидетельствует, однако, о том, что указанный период в развитии математики, по-видимому, исчерпал свои внутренние потен­ции и что мы находимся в преддверии нового этапа, контуры которого можно очертить пока лишь весьма приблизительно. Дело в том, что идея редукции всей математики к ее чисто теоретической компоненте, а по­следней — к аксиоматико-дедуктивной форме, объективно ведет к увели­чению разрыва между математикой и насущными потребностями эконо­мического развития, с одной стороны, и математикой и образованием — с другой. Не имея возможности подробного обсуждения этой проблемы в рамках данной работы, укажем лишь на некоторые характерные явле­ния, свидетельствующие о неблагополучном положении в развитии ма­тематики (если взглянуть на нее не изнутри, глазами активно работаю­щего математика, а «снаружи» — с точки зрения общества).

Первый факт относится к взаимоотношению математики и техники (под техникой мы будем понимать технологии вообще, в какой бы обла­сти они ни использовались). Еще в середине прошлого века, обсуждая этот вопрос, А.Н. Колмогоров писал: «Прямые... связи математики с техникой чаще (курсив мой. — Е.З.) имеют характер применения уже со­зданных математических теорий к техническим проблемам», подразуме­вая при этом, что «примеры возникновения новых математических тео­рий на основе непосредственных запросов техники» редки². Если 50 лет назад такое положение вещей еще не воспринималось как проблема (техника не развивалась столь стремительно и запас готовых математи­ческих моделей был достаточен для ее обслуживания), то в настоящее время ситуация изменилась. Стремительная смена технологий приводит к необходимости создания буквально «на ходу» новых адекватных мето­дов анализа количественных параметров. Наработанные за последние три столетия классические математические модели, созданные внутри самой математики, не всегда справляются с функцией математического обеспечения новых технологических процессов. В качестве примера можно привести современную теорию антикризисного управления, в которой ощущается острый недостаток адекватных математических ме-

¹ Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 245—259, 252—253.

² Колмогоров А.Н. Математика (статья лля БСЭ-2) // Колмогоров А.Н. Математика в ее
историческом развитии. М., 1991. С. 27.

1.3. Закономерности развития математики                                            39

тодов. Классические математические методы теории управления, разви­тые в XX в., в данной области чаще всего не удается применить.

Другая проблема, напрямую связанная с односторонним развитием математики как теоретической науки, возникает в сфере математическо­го образования. Эта проблема не представляется особенно острой, когда речь идет о преподавании математики школьникам физико-математиче­ских школ и классов или о преподавании студентам-математикам. В этом случае учащийся просто обязан изучить лучшие образцы теоретической математической мысли с тем, чтобы, следуя этим образцам, быть в состо­янии внести свой вклад в развитие данной дисциплины. Дело обстоит иначе, когда речь заходит о преподавании элементарной и высшей мате­матики учащимся, для которых математика — в лучшем случае вспомога­тельный аппарат в основной профессии. Такие учащиеся с трудом вос­принимают и осваивают математические формализмы. Причина состоит в том, что эти формализмы в связи с вышеуказанной тенденцией к поис­ку все более общих, простейших структур приобрели (особенно в насто­ящее время) столь абстрактный характер, что потеряли всякую связь с те­ми конкретными задачами, которые когда-то привели к их созданию.

Именно эту категорию учащихся, составляющих подавляющее боль­шинство обучающихся математике в школе и в вузах, имеет в виду В.И. Арнольд, когда пересказывает историю, случившуюся с Ж.Ж. Рус­со. Последний писал в своей «Исповеди», что долго не мог поверить в доказанную им самим формулу квадрата суммы, пока наконец не разре­зал квадрат на два квадрата и два равных прямоугольника. Мораль этого примера проста. Единственный способ сделать осмысленным освоение математических формализмов (включая формализм арифметики) состо­ит в показе их предметных интерпретаций. Идея эта не нова. Еще на за­ре XX в. А. Пуанкаре предлагал обучать учащихся действиям с простыми дробями путем разрезания (хотя бы мысленно) либо круглого пирога, либо яблока. Такой метод преподавания позволяет избежать нелепых выводов, которые сплошь и рядом делают современные школьники, считая, например, что '/2⁺¹/з⁼²/5-

Подобного рода педагогические идеи идут в разрез с тем стилем ма­тематического образования, который, следуя Бурбаки, ставит во главу угла обучение учащихся аксиоматике, на основе которой строятся эф­фективные, но малопонятные для них математические формализмы. С точки зрения Бурбаки, математика представляет собой иерархию структур на множествах, начиная с простейших (например, структура группы), и заканчивается сложными, состоящими из нескольких по­рождающих структур. В число последних попадает, в частности, класси­ческий анализ. Следуя этой логике, начинать обучение математике надо с простейших формализмов, а заканчивать — теориями уровня матема­тического анализа.

40                                       1. Философские проблемы математики

Такой подход к обучению игнорирует тот факт, что в реальной исто­рии развития математики все обстояло с точностью до наоборот. Снача­ла (в значительной степени под влиянием механики, т.е. материальной предметности) появились нестрогие методы дифференциального и ин­тегрального исчисления, и лишь затем были развиты удовлетворяющие современным критериям строгости соответствующие структуры и фор­мализмы. Но это еще не все. В работах последних лет, написанных в рамках социокультурной философии математики, показано, что изло­жение математики в соответствии со строгим аксиоматическим подхо­дом органично связано только с одним ее разделом — теоретической геометрией. Был также раскрыт механизм возникновения самого дедук­тивного метода. А именно было показано, что греческая математика превратилась из науки о количественных отношениях реальных предме­тов в науку об идеальных объектах по существу благодаря случаю (невоз­можности использования египетских строительных приемов в приклад­ных целях)¹.

И последнее. Восходящая к Канту идея о том, что математика имеет абсолютно достоверное ядро, в последнее время подвергается критике как со стороны философов (К. Поппер, И. Лакатос, Ф. Китчер, А.Г. Ба-рабашев²), так и логиков и историков науки. В качестве примера послед­него рода укажем на критику диагональной процедуры Г. Кантора, лежа­щую в основе многих разделов современной математики и до последнего времени считавшуюся логически корректной³.

Указанные выше обстоятельства — стремительная смена технологий, кризис математического образования и критика идеи кумулятивного раз­вития математики — можно рассматривать как признаки того, что мате­матику в недалеком будущем ожидает переход в новое качество. По­скольку развитие культуры, в том числе культуры математической, совершается в результате сознательных действий людей (а не в процессе естественной эволюции, как это происходит в природе), то не только тео­ретической, но и чисто практической проблемой становится обоснова­ние стратегий роста математики, исходя из анализа ее исторического раз­вития в целом и особенностей наблюдаемых сейчас кризисных явлений.

¹ См.: Бычков С.Н. Указ. соч. С. 277—284. Бурбакизм же, не видя социокультурной обусловленности аксиоматического метода, возводит его в ранг непререкаемой догмы, что и приводит к тяжелым последствиям для школьного и вузовского математического обра­зования .

^ См.: Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирова­ния. М., 1991.

³ См.: Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Канторовская диагональная процедура: исторический и логический контекст // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 4 (39). М., 1999. С. 303-325.

1.4. Философские концепции математики                                             41

1.4. Философские концепции математики

Философские концепции математики различаются тем, как они тракту­ют природу математических понятий и принципов, логику их происхож­дения и их связь с представлениями опытных наук. Вопрос о происхож­дении математических понятий является наиболее важным, поскольку он определяет представления о природе и методе математического мы­шления. Этот вопрос является и самым трудным в том смысле, что его решение тесно связано с глубокими и еще не вполне понятыми антите­зами общей теории познания и прежде всего с традиционным противо­стоянием эмпиризма и рационализма в понимании норм мышления. Мы проведем здесь краткое описание основных воззрений на математи­ку, имевших место в истории философии и методологии математики.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагоре­изм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, ко­торая может быть понята только умозрительно, посредством самого ра­зума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к кос­мосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и не­опровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверж­дения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания.

Математика определяла и общее пифагорейское понимание реально­сти, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом че­тыре, вселенную — с числом десять и т.д. Положение «Все есть число» имело у пифагорейцев и другой, менее понятный для нас смысл. Как это видно из сочинений Аристотеля, они понимали число не только в каче­стве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, т.е. они мыслили числа как некоторого рода идеальную основу мира, как особо­го рода субстанцию, определяющую само их возникновение. Можно сказать, что Пифагор и его последователи возводили числа в начало всех

42                                        1. Философские проблемы математики

вещей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы.

Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в антич­ной философии. Мы видим это в диалогах Платона, в особенности, в «Теэтете» и «Тимее». Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. «...Бог поме­стил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам ее сплотил»¹. Мы видим далее у Плато­на, что каждое из природных начал соединяется с одним из пяти пра­вильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совер­шенство имеет форму сферы². Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей.

Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых гео­метрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пи­фагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой ло­гики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины не­измеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие опреде­ленному числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной.

Другая причина постепенного ослабления пифагорейской филосо­фии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая кри­тика пифагореизма. Хотя Аристотель — непосредственный ученик Пла­тона, его мировоззрение отличается от платоновского радикальным об­разом. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный

¹ Платон. Тимей // Соч.: В 4 т. М., 1994. Т. 3. С. 435.

² Там же. С. 458-462.

1.4. Философские концепции математики                                             43

философ, он ценит факты и логику больше, чем мифологические пост­роения. Отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна прежде всего потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании, — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гар­монию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...»¹ Пифагорейские сопо­ставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на слу­чайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.

В философии Аристотеля появилось новое понимание математичес­кого мышления, которое известно сегодня под названием математичес­кого эмпиризма. В основе этой концепции лежит убеждение в первично­сти опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с ве­щами и возникают как таковые из способности отвлечения. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и гео­метр»². Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспри­нимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) су­ществующие. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстракт­ной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движе­ния, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для яс­ности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи пер­вичны перед математикой и определяют ее содержание.

Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотре­ния. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуж­дения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду не легкость усвоения математики, а специфическая абстрактность ее предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в фи­зике и других, более конкретных науках. Им высказана также идея о глу­бинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды пре­красного, считал Аристотель, — это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эти стороны вещей и выявляет математика.

¹ Аристотель. Метафизика // Соч.: В 4 т. М., 1972. Т. 1. С. 365.

² Там же. С. 326.

44                                        1. Философские проблемы математики

Аристотелевская концепция математики является, конечно, более обоснованной и более соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в сво­ей сути аристотелевского воззрения на математику: они считают, что ма­тематика вторична перед физикой, что исходные математические объек­ты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей. С этой точки зрения математика — абстрактная физика, отвлеченная от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с ус­пехом прилагается к описанию природы.

Эмпирическое воззрение на математику встретилось, однако, с боль­шими трудностями. Уже давно было замечено, что математические ут­верждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в ма­тематике — доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и кор­ректировки. Мы замечаем также, что математика в обосновании своих положений не использует никаких показаний опыта. Исследуя прост­ранство, геометрия не обращается к опытному анализу пространствен­ных отношений. Наконец, многие объекты, исследуемые в математике, в принципе не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. За­труднения возникают уже с отрицательными числами. Нельзя доказать положение: (+5) (—5) = +25, апеллируя к какому-либо опыту или к спо­собности абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отноше­нии иррациональные и комплексные числа. Развитие математического анализа ввело в математику понятие бесконечности, которое не имеет коррелята в чувственном опыте. Развитие математики в Новое время выдвигало все новые и новые контрдоводы об отношении аристотелевс­кой концепции математики и все настоятельнее ставило задачу ее пони­мания на некоторой принципиально новой основе.

Концепция математики, которая в какой-то степени решает эту зада­чу, сформировалась в XVII—XVIII вв. и получила наименование априо­ризма. Априоризм в определенной степени является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, ибо математика объявляется принципиально внечувственным знанием, ос­нованным на специфической интеллектуальной или чистой чувствен­ной интуиции. Декарт разделил все истины на вечные, данные в аподик­тической очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика снова стала пониматься как знание, радикально отличное от эмпирического знания, полученное на основе внечувственной оче­видности. Близкое воззрение было сформулировано Г. Лейбницем. Он отличал необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины являются аналитическими, т.е. строго выводимыми из некото­рой системы простых тавтологических утверждений. И у Декарта, и у

1.4. Философские концепции математики                                             45

Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывает­ся с опытом; эти истины рассматриваются как истины самого разума, покоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную природу.

Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитич­ность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетиче­скими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем созна­нии чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созер­цания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, со­гласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифме­тики — на чистое представление о времени. Чистые представления прост­ранства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза¹.

К важнейшим положениям кантовской философии математики нуж­но отнести также его положение о конструктивном характере математи­ческих объектов. Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не мо­жем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевид­ную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие не­посредственного зрительного образа этой фигуры.

Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколеба­ло истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали воз­можность существования математических теорий, не обладающих апри­орной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантовском смысле. Это свидетельствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.

В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геомет­рий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основ­ные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:

¹ См.: Кант И. Соч.: В 6 т. М., 1963-1966. Т. 3. С. 402.

46                                       1. Философские проблемы математики

• математика не является наукой, исследующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели;

• основным требованием к аксиомам математической теории являет­ся не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам;

• к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытно­го подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;

• если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается толь­ко в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.

Эти принципы оформились в конце XIX — начале XX в. в работах Г. Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта¹. Ясно, что, принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической и априористской философии математики. От математи­ческой теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождения и кон­структивности понятий. Для математической теории объявляется суще­ственным только одно требование, а именно требование ее непротиво­речивости. Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики XX в. развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышле­ния. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равно­ценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом.

На протяжении XX в. появились новые воззрения на природу матема­тики. Мы видим прежде всего некоторое возрождение эмпиризма. В этом плане получила известность концепция Ж. Пиаже, который в 50-х гг. прошлого века сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По мнению Пиаже, необ­ходимо различать два вида опыта: физический и логико-математичес­кий. Когда ребенок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же он начинает считать эти камешки, то он отвлекается от всех их физи­ческих качеств и обращает внимание только на операции, необходимые

¹ См.: Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Труды по теории мно­жеств. М., 1985. С. 79—81; Гильберт Д. О бесконечном // Избр. труды. М., 1999.

1.4. Философские концепции математики                                             47

для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные ма­тематические понятия, по мнению Пиаже, сформировались в опыте, но не в сфере физического, а в сфере логико-математического или опера­ционального опыта, т.е. через наблюдение операциональной активнос­ти. Ошибка традиционного эмпиризма состояла в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики из физиче­ского опыта. Математика в своей сути — это наука о реальных и мыслен­ных операциях, и, таким образом, она имеет предмет, определенный структурой операционального опыта¹.

Другой вариант эмпирического понимания математического мышле­ния был предложен И. Лакатосом в его известной работе «Доказательст­ва и опровержения», а также в ряде статей, посвященных философии математики². Эмпиризм Лакатоса можно назвать методологическим, ибо он направлен прежде всего на критику традиционных представлений о строгости математического доказательства и проектов логического обос­нования математических теорий. Лакатос выдвинул положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Самое убеди­тельное доказательство, по его мнению, содержит в себе систему скрытых допущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочны­ми или противоречивыми. Полное выявление такого рода допущений, считает он, ни в одном конкретном случае не может быть достигнуто. Да­же если бы некоторое доказательство действительно оказалось полностью свободным от скрытых допущений, то мы все равно не могли бы доказать этого факта, т.е. его законченности. Лакатос убежден в том, что мы счита­ем доказательства строгими в соответствии с принятыми для данного вре­ мени критериями строгости, которые не являются неизменными. Абсо­лютно строгих доказательств, с этой точки зрения, не существует, ибо доказательство, удовлетворяющее критериям строгости одной эпохи, мо­жет оказаться нестрогим с точки зрения критериев другой эпохи³.

К математическому эмпиризму можно отнести также и концепцию математики Ф. Китчера, основанную на психологической теории позна­ния. Одна из основных целей Китчера состоит в критике априоризма. По его мнению, всякая интуиция, в конечном итоге, есть продукт опы­та, и не существует никакой особой интуиции, которая могла бы гаран­тировать полную надежность математического рассуждения⁴.

¹ См.: Пиаже Ж. Структуры операциональные и структуры математические // Препо­
давание математики. М., 1960. С. 30.

² См.: Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М.,
1967; Лакатос И. Бесконечный регресс и обоснования математики // Современная фило­
софия науки. М., 1996; Lakatos I. A Renaissanse of Empiricism in the Resent Philosophy of
Mathematics // Brit. Journ. for the Philos. of Sci. 1976. Vol. 27. № 3.

³ См.: Лакатос И. Доказательства и опровержения. С. 80.

⁴ См.: Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. N.Y., 1983. P. 50-53.

48                                        1. Философские проблемы математики

В последнее время появились также воззрения на математику, которые можно назвать неоаприоризмом, поскольку они настаивают на априорно­сти исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории в духе формалистской концепции. Ма­тематика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, апри­орная математика, принципы которой обладают самоочевидностью и вто­ричная, формальная математика, созданная для внешних (прикладных) задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости. Некото­рые попытки восстановления математического априоризма мы видим в работах Я. Хинтикки и ряда других философов¹. Неоаприористское воз­зрение на природу математики представляется достаточно перспектив­ным. Несомненно, что исходные математические теории, такие, как ариф­метика, геометрия и логика, имеют прямую связь с универсальной онтологией, они тесно связаны с категориальным видением мира и имеют значение для мышления вне их прикладной ценности. Безусловно, Кант был прав, связывая исходные математические представления с общей ло­гикой человеческого мышления.

Краткий обзор основных воззрений на природу математики убежда­ет нас в том, что наряду со сдвигами в развитии самой математики про­исходит постоянное совершенствование философии математики. Мы видим здесь смену воззрений и возрождение старых точек зрения на ос­нове новых фактов. Очевидно, что это диалектическое движение не мо­жет закончиться. В философии математики мы не достигаем последних пределов, как и в развитии самой математики.

1.5. Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) ма­тематических доказательств и к обоснованию непротиворечивости ма­тематических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.

Эти вопросы были в центре внимания логиков и философов на протяжении всего последнего столетия. Хотя окончательное решение проблемы обоснования до сих пор не достигнуто, несомненно, имеет­ся существенное продвижение в смысле более глубокого ее понима­ния и разработки средств, которые могут быть использованы для ее решения.

' См.: Хинтикка Я. Информация, дедукция и a priori //Хинтикка Я. Логико-эпистемо­логические исследования. М., 1980.

1.5. Философия и проблема обоснования математики                                     49

На вопрос о том, являются ли математические доказательства строги­ми, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логи­ки рассуждения. Этот вопрос, однако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых выявлена система необходимых посылок и нет сомнений в характере ис­пользуемых логических средств. Математик, конечно, не сомневается в том, что основные доказательства алгебры и элементарной геометрии безупречны. Их трудно поставить под сомнение хотя бы потому, что они образуют логически связанную систему положений и сомнение в надеж­ности одного из них ставит под вопрос существование теории в целом. Но можем ли мы все-таки обосновать полную надежность какого-либо конкретного доказательства? Трудность положительного ответа на этот вопрос заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости и т.д. Это значит, что мы должны получить заключение о стро­гости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надеж­ностью. Но могут ли существовать содержательные и одновременно бе­зусловно строгие рассуждения? Подавляющее число логиков и филосо­фов сомневаются в совместимости этих требований.

Длительная неопределенность в положительном решении вопроса по­будила многих философов защищать противоположную идею, а именно настаивать на принципиальной нестрогости любого математического до­казательства. Именно в этом плане И. Лакатос защищал положение, со­гласно которому идеально строгих доказательств не существует. Очевидно, что Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование матема­тических понятий. Никакое понятие, по его мнению, не свободно от инту­иции опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической тео­рии. С точки зрения априористской теории познания эти заключения, ко­нечно, не будут законными. Исходные понятия математики, данные в апо­диктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе аподиктически очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного. Необходимо сде­лать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема стро­гости математических доказательств может быть решена только при прояс­нении природы элементарных очевидностей, лежащих в его основе. Она сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу мате­матических понятий. Надо признать, что в настоящее время мы пока не имеем аргументации, позволяющей сделать здесь однозначный выбор или некоторым образом примирить диаметрально противоположные подходы.

50                                        1. Философские проблемы математики

Обоснование математики в плане обоснования непротиворечивости математических теорий имеет аналогичные трудности. Эта проблема, как известно, была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Парадоксы по­ставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явления и указать минимальные огра­ничения для логики математических рассуждений, которые были бы до­статочными для устранения парадоксов. Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математичес­кой теории, гарантирующие ее непротиворечивость. Первую задачу мож­но считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б. Рас­сел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предло­женный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области опре­деления логических функций¹. Но являются ли эти ограничения доста­точными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем? Проведенные исследования пока не позволя­ют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой общей постановке проблема является неразрешимой.

В начале XX в. были намечены три программы обоснования математи­ки: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до по­явления парадоксов. Суть этой программы состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы матема­тических теорий в качестве общезначимых логических истин. Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе по­нятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолют­ную непротиворечивость. При принятии этого допущения редукция мате­матической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости, гарантированности ее от противоречий любого вида. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундамен­тальном труде «Principia Mathematica» (Vol. 1—3. 1910—1913) предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их редукции к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такая редукция может быть осуществлена для всех основных математических теорий. Од­нако К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложени­ях "Principia Mathematica" и родственных систем» (1931) показал, что поч­ти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической

¹ См.: Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 1998. Гл. 7.

1.5. Философия и проблема обоснования математики                                     51

теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при неко­торой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления, поскольку они удовлетворяют требованию семан­тической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представле­ния арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты. В настоящее время признано, что иссле­дования Гёделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики. Бесперспективность логицистской программы следует также и из более общих рассмотрений, касающихся природы логи­ческих принципов.

Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу редукции математики к исходным представлени­ям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания. При этом Брауэр существенно ограни­чил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон ис­ключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода. В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объ­екте с его предъявлением в качестве конструкции. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как про­тиворечивое по своей сущности. Все допустимые математические объек­ты, по мысли Брауэра, должны быть построены на основе натуральных чи­сел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такого рода конструктивной перестройки математики она, считал Брауэр, является абсолютно гарантированной от противоречий.

Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктив­ная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы Брауэру удалось свести к арифметике достаточно широкую область ма­тематики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Это­го, однако, не удалось сделать. Сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению. Последователи Брауэра построили интуиционистский анализ и интуиционистскую тео­рию множеств, но эта деятельность, будучи интересной и продуктивной в математическом плане, очевидно, не решала проблемы обоснования клас­сической математики, которая является наиболее значимой для приложе­ний. Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, таким образом, несостоятельной вследствие своей узости.

Наиболее обоснованной теоретически была формалистская програм­ма, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность програм­мы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Брауэра. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом,

52                                       1. Философские проблемы математики

не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа ак­сиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поня­ты только как некоторого рода гипотезы. Он был категорически не со­гласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута толь­ко через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт, как это признано, взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая ин­туиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Бра-уэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математи­ческим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно беско­нечного множества предметов не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третье­го, не может быть применена к нему в качестве безусловной истины.

Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принцип фини-тизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сде­лано надежным только через конечное¹. Финитизм Гильберта, однако, не столь радикален, как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще как понятие, не име­ющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех преде­лах, в которых оно допускает финитное обоснование.

Процедура обоснования математики, согласованная с этими общими установками, предполагает полную формализацию теории, заключаю­щуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания стро­чек символов. Математическая теория тем самым превращается в объ­ект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул. В плане классифи­кации очевидностей можно сказать, что формализация представляет со­бой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности.

Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие прин­ципы логики и специальные правила преобразования (принцип индук­ции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории. Метатеория, по замыслу Гильберта, должна быть безусловно истинной и достаточной для строгого обоснования непротиворечивости формализма, которое должно состоять в доказательстве того факта, что в его рамках в соответствии с правилами логики и правилами введения производных объектов не может быть получено выражение, имеющее вид «О = 1».

¹ См.: Гильберт Д. Избр. труды. М., 1999. С. 448.

1.5. Философия и проблема обоснования математики                        53

Целью формалистского анализа, как и всякого другого обоснователь-ного рассуждения, являются, конечно, реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалист­ского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости ре­альной математической теории предполагается вывести из непротиворе­чивости ее формализованного аналога. Формалистское обоснование покоится на допущении, что непротиворечивость формализма, будучи доказанной, гарантирует полную надежность содержательной теории.

Успех формалистского обоснования обеспечивается, очевидно, на­дежностью метатеоретического доказательства. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как принципы гильбер-товского финитизма. Они могут быть сведены к положениям, согласно которым метатеория является:

1) синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знако­вой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре. Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивос­ти теории — это обоснование, апеллирующее только к синтаксису тео­рии и не использующее никаких допущений о содержании ее понятий и принципов;

2) содержательной, поскольку она относится к конкретному форма­лизму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;

3) финитной, ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допуще­нием актуальной бесконечности;

4) конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о сущест­вовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Легко видеть, что все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием логицистского и интуиционистского анализа проблемы. Часто указывается, и в определенном смысле это верно, что Гильберт не дал полного определения метатеории, устраняющего всякие колебания относительно возможного ее содержания. Методологический замысел Гильберта, однако, совершенно ясен. Он состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рассуждение таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечивость формализованных теорий, а следовательно, и непротиворечивость соответствующих им содержа­тельных теорий, независимо от их содержания.

Гильберт также считал, что метатеория должна включать в себя только математически определенные понятия. Речь идет здесь о требовании, кото-

54                                       1. Философские проблемы математики

рое получило в дальнейшем название принципа отделения оснований от философии. Это положение означает, что выделение принципов метатео­рии должно совершаться только на основе математических критериев. Принимая факт априорности элементарной математики, Гильберт отожде­ствляет априорность с финитностью и формулирует требование финитное -ти в качестве основного критерия для метатеории. Мотив этой замены ясен: требование финитности является математическим и предположительно бо­лее определенным, чем философское понятие априорности. Гильберт не допускает в рамках метатеории принципов и терминов философского ха­рактера, не имеющих адекватного математического представления.

Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория не­противоречива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории. Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифмети­ки, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифме­тики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми доста­точно простыми средствами, включенными в метатеорию.

Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы во­обще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае мы должны признать, что математика, как и другие науки, обосно­вывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. Существуют, однако, и другие, более оптимистичные концепции обоснования, предполагающие возмож­ность новых подходов к обоснованию непротиворечивости математичес­ких теорий, которые не связаны с трудностями классических программ¹.

Один из возможных подходов состоит в гносеологической реабилита­ции логических средств, запрещенных в рассмотренных программах обос­нования математики. В гильбертовской программе обоснования, как мы это видим, все зависит от дедуктивных возможностей метатеории, которая ограничена определенной системой требований. Но в какой мере являют­ся оправданными эти требования? Современные исследования все с боль­шей определенностью приводят нас к выводу, что эти требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения. Одним из требований к метатеоретическому рассуждению

' См.: Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. О новом подходе к методологии математики // За­кономерности развития современной математики. М., 1987. С. 85—105.

1.5. Философия и проблема обоснования математики                                     55

является требование конструктивности, которое сводится к недопущению в системе логических норм закона исключенного третьего и классическо­го (нефинитного) истолкования квантора общности. Логические исследо­вания, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют, од­нако, о полной надежности классической логики. Здесь достаточно напомнить об исследованиях А.Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переве­дены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика яв­ляется столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется право­мерным вывод о полной надежности классической логики и о неправо­мерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего. Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности мета­языка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оп­равданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математиче­ского анализа и существенной части теории множеств.

Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении не­которых других требований к метатеории. Современный анализ логики ма­тематического мышления позволяет утверждать, что семантические средст­ва должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательных рассуждений, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатео­рию в ее гильбертовском понимании. Сторонники строгого гильбертовско-го подхода ставят здесь неоправданные запреты. Э. Мендельсон пишет о непротиворечивости принятого им варианта формализованной арифмети­ки (системы S ): «Если мы признаем стандартную интерпретацию моделью теории S , тогда мы должны признать и факт непротиворечивости этой сис­темы, однако семантические методы, включающие в себя, как правило, известную долю теоретико-множественных рассуждений, по мнению не­которых математиков, являются слишком ненадежной основой для доказа­тельства непротиворечивости»¹. Если философский и методологический анализ математического рассуждения позволяет обосновать надежность се­мантических средств, по крайней мере в известных пределах, то все доказа­тельства непротиворечивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику, должны быть признаны законными, обладающими абсолютной достоверностью. Представляется, что разделение доказательств на семан­тические и синтаксические, безразличное для обычной математической

¹ Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1972. С. 108.

56                                        1. Философские проблемы математики

практики, должно быть признано безразличным и для сферы обоснова-тельных рассуждений. В настоящее время уже имеются убедительные с ма­тематической точки зрения доказательства непротиворечивости математи­ческих теорий с использованием семантических соображений. Здесь можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики, данное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости¹.

Гносеологический анализ показывает, что слишком сильным и не впол­не оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, не относящихся к математике. Несомненно, что метатеоретическое рас­суждение может прибегать к аподиктически очевидным (интуитивно яс­ным) представлениям, не имеющим строгого математического определе­ния. Мы можем, к примеру, принимать некоторые логические и общие математические принципы как априори истинные, без математического уточнения понятия априорности. Разумеется, что эта стратегия должна быть обоснована в рамках гносеологического анализа априорности.

Современный логический и гносеологический анализ свидетельству­ет, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику мета­теории, но в определенной мере и от требования финитности. Этот по­следний шаг, будучи обоснован, обеспечил бы принятие известных доказательств непротиворечивости арифметики, проведенных с исполь­зованием принципа трансфинитной индукции.

Из сказанного можно сделать следующий вывод: проблема обоснова­ния математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания пола­гать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолют­ных запретов на появление других более успешных программ, которые бу­дут исходить из более адекватных представлений о природе математичес­кого мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обосно­ванию математики зависит от нашего понимания природы математичес­кого мышления, которое находится в процессе постоянного совершенст­вования.

¹ См.: Нагорный Н.М. К вопросу о непротиворечивости классической формальной арифметики. Вычислительный центр РАН. М., 1995.

1.6. Философско-методологические и исторические проблемы...                                57