№ 1
Докажите справедливость равенства:
1) 
;
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 2 
;
7) 1 
;
8) 1 
;
9) 
;
10) 
.
№2
Вычислите:
1) 
;
2) 
.
Ответ: 1) 
; 2) 
.
Практическое занятие № 25
Выполнение заданий на применение формул приведения
Цели:
• Образовательные: вывести формулы приведения, обучить учащихся практическим приемам применения формул приведения для нахождения значений тригонометрических функций различных углов, отработать алгоритм применения формул приведения (предполагается, что по окончании урока учащиеся смогут применять алгоритм применения формул приведения для нахождения значений тригонометрических функций различных углов);
• Развивающие: формирование приемов анализа и синтеза, обобщения, развитие математической речи, обогащение ее новыми математическими терминами;
АЛГОРИТМ
1-ый шаг- определяем, меняется ли название функции:
- если приведение осуществляется через углы вида П/2*k, где k – нечетное (П/2, 3П/2, 5П/2,…), то sin меняется на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg;
- если приведение осуществляется через углы вида П/2*k, где k –четное (П, 2П, 3П,…), то не меняется;
2-ой шаг - определяем четверть, которой принадлежит угол в левой части равенства;
3-й шаг - определяем знак функции в левой части равенства и ставим его перед функцией в правой части.
Задание 1.
sin(п+α)= -sinα
cos(п/2-α)= -sinα
tg(3п/2+α)= -ctgα
ctg(2п-α)= -ctgα
Задание 2.
Укажите верные равенства:
cos(п-α) = -cosα (+)
cos(3п/2- α) = -sinα (+)
cos(3п/2+ α) = -sinα (-)
cos(2п- α) = cosα (+)
tg(п/2- α) = ctgα (+)
tg(п/2+ α) = ctпgα (-)
ctg(3п/2+ α) = -tgα (+)
tg(3п/2- α) = ctgα (+)
sin(90+ α) = sinα (-)
sin(180+ α) = sinα (-)
sin(180- α) = sinα (+)
sin(270- α) = -sinα (-)
Выразите через тригонометрические выражения с переменной α:
ctg(270+ α) = -tg α
sin(3п+ α) = -sin α
Задание 3. Решите примеры, используя алгоритм
Вариант 1
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Вариант 2
Вариант 3
Практическое занятие № 26
Выполнение действий с тригонометрическими выражениями с применением формул разности и суммы
Вычисление значений тригонометрических выражений
Найдите 
, если 
и 
.
Решение.
т.к. 
, то 
<0;
.Ответ: -3.
1. Найдите 
, если 
и 
.
2. Найдите , если 
и 
.
Найдите , если 
и 
Решение.
т.к. 
, то > 0;
, 
.Ответ: 5.
1. Найдите 
, если 
и 
.
2. Найдите 
, если 
и 
.
Найдите 
, если 
и 
.
Решение.
т.к. 
, то 
;
, => 
.
Ответ: 1.
1. Найдите 
, если 
и 
2. Найдите , если 
и 
.
Найдите 
, если 
и 
.
Решение.
т.к. 
, то 
;
.Ответ: -1.
1. Найдите 
, если 
и 
.
2. Найдите 
, если 
и .
Найдите 
, если 
.
Решение.
Ответ: 22,08.
1. Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Найдите 
, если 
.
Решение.
= 
Ответ: 4.
1. Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Найдите значение выражения 
, если 
.
Решение.
= 
.
Ответ: -28.
1. Найдите значение выражения 
, если 
.
2. Найдите значение выражения 
, если 
.
Найдите 
, если 
и 
.
Решение.
;
т.к. 
, то 
; 
.
Ответ: 0,6.
1. Найдите 
, если 
и 
.
2. Найдите 
, если 
и 
.
Найдите 
, если 
и 
.
Решение.
т.к. 
, то 
;
= 
.
Ответ: -10.
1.Найдите 
, если 
и 
.
2. Найдите 
, если 
и 
.
Найдите 
, если 
.
Решение. 
Ответ: -2,5.
1. Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Найдите 
, если 
.
Решение.
, 
.
Ответ: 7.
1. Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Найдите 
, если 
.
Решение.
Способ 1: 
. Тогда:
= 
.
Способ 2: поделим числитель и знаменатель дроби на . Тогда:
= 
.
Ответ: -9.
1. Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Найдите 
, если 
.
Решение.
Сократим дробь на :
.
Ответ: 8.
1. Найдите , если 
.
2. Найдите , если 
.
Найдите , если 
.
Решение.
Сократим дробь на :
.
Ответ: 2,25.
1. Найдите , если 
.
2. Найдите , если 
.
Найдите значение выражения 
, если 
.
Решение.
= 
.
Ответ: 3.
1. Найдите значение выражения 
, если 
.
2. Найдите значение выражения 
, если 
.
Найдите значение выражения 
, если 
.
Решение.
= 
.
Ответ: 4.
1. Найдите значение выражения 
, если 
.
2. Найдите значение выражения 
, если 
.
Найдите 
, если 
.
Решение. 
= 
.
Ответ: -7.
1.Найдите 
, если 
.
2. Найдите 
, если 
.
Преобразования числовых тригонометрических выражений
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 6.
1. Найдите значение выражения:
2. Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: -24.
1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 5.
1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 36.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 2.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Ответ: -16.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Ответ: -6.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.
Ответ: 6.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 18.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: -12.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
.Ответ: -14.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
.Ответ: -4.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
.
Ответ: -5.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
.
Ответ: 14.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
.
Ответ: -5.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
= 
= 
Ответ: 12.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.Ответ: 6.
1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
.
Решение.
.
Ответ: 12.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Ответ: 10.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Ответ: 10.
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
Найдите значение выражения: 
.
Решение.
.Ответ: -3.
1. Найдите значение выражения: 
.
2. Найдите
Практическое занятие № 27
Выполнение действий с тригонометрическими выражениями, с применением формул тригонометрии
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: 
, 
.Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
Формулы сложения.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Формулы двойных и половинных углов.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
Формулы преобразования суммы в произведение:
|
|
| |
| 
|
| 
|
Формулы преобразования произведения в сумму:
· 
.
· 
.
· 
.
Формулы приведения:
| φ | α | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| sin φ | - sin α | cos α | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α |
| cos φ | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α | cos α | cos α |
| tg φ | - tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α |
| ctg φ | - ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α |
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Пример 1.Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции 
.Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая ( 
), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, 
.Ответ: .Пример 2.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 3.Упростите выражения:
1) 
;2) 
;3) 
;4) 
;5) 
;6) 
.
Решение
Данные задания — на применение формул сложения.
1) 
. Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что 
.2) 
.3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда 
.4) 
.5) Применим формулу «тангенс суммы», получим 
.6) 
.
Ответ: 
.Пример 4.Вычислите:
1) 
;2) 
;3) 
;4) 
;5) 
.
Решение
1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда 
.2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: 
.3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно, 
. Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: 
.4) 
. Окончательно получаем, что 
.5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда 
. Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что 
. Cледовательно, 
.
Ответ: 
.Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
Пример 5.Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin2α;2) sin4α + cos4α;3) sin6α + cos6α.Решение
1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:1 - sin2α = 0,09, откуда:sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде:sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α) - 2sin2α cos2α = (sin2α + cos2α)2 - 1/2 α sin22α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3 = (sin2α + cos2α)(sin4α - sin2α cos2α + cos4α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.
Ответ:
1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.
Пример 6.Найти tg α, если 
Решение
Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби): 
, следовательно, 
тогда: 
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.Ответ: 7.Пример 7.Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 
Решение
Как известно, 
. Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: 
, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α< 0.В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: 
Ответ: 
Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Пример 8.Найти значение выражения: 
.Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
С целью сокращения дроби 
воспользуемся формулой «разность кубов» и получим: 
.Рассмотрим далее выражение 
. Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом: 
.Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: 
. Поэтому: 
Тогда 
.Окончательно получаем: 
Ответ: 1.Пример 9.Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем: 
Ответ: 
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Пример 10.Упростить выражение: 
.Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление 
: 
.Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю: 
.Следовательно, 
Ответ: 
Пример 11.Доказать тождество при 
Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
Решение
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α: 
.Вспомнив, что 
, получаем 
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому 
;при 
следовательно, 
Таким образом: 
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: 
Тогда, 
, что и требовалось доказать.
Пример 12.Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если 
.
Решение
Выпишем формулы для вычисления искомых функций: 
Из основного тригонометрического тождества вычислим: 
Далее найдем значения искомых выражений: 
Ответ: 
Пример 13.Доказать тождество 
.
Решение
Приведем левую часть к 1: 
.Тождество доказано.Пример 14.Вычислить значение выражения: 
.
Решение
Обратим внимание, что 
Далее, используя формулы приведения, получим: 
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций: 
Итак, значение выражения равно 0.Ответ: 0.Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий: 
.Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.
Пример 15.Вычислить cos(4arctg 5).
Решение
Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку: 
Тогда получаем, что: 
Ответ: 
Пример 16.Выразить через все обратные функции 
Решение
Пусть 
. Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.Найдем все тригонометрические функции угла: 
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что 
.Но 
, так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом 
, то есть 
, тогда 
.Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, 
, следовательно, 
. Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.
Ответ: 
Пример 17.Найти arcsin (sin 12).
Решение
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку 
. Заметим, что 
, поэтому 
.Поскольку 
, угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.
Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4 π.
Пример 18.Вычислить 
Решение
Введем два угла: 
Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что 
. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.
Во-первых, 
Во-вторых, 
.Следовательно, 
Ответ: 
Практическое занятие № 28
Построение графиков показательной функции
Цели:
Образовательная: обобщение знаний по данной теме.
Воспитательная: воспитание внимания, самостоятельности, упорства в достижении цели.
Развивающая: развитие логического мышления, умений сравнивать и анализировать полученные результаты исследования, обобщать и делать выводы.
Вопросы:
1. Дайте определение логарифмической функции.
2. Дайте определение показательной функции.
3. Область определения:
а) показательной функции,
б) логарифмической функции.
4. Область значений:
а) показательной функции,
б) логарифмической функции.
5. При каких значениях 
(основание степени или основание логарифма)
а) показательная функция убывает?
б) логарифмическая функция убывает?
в) показательная функция возрастает?
г) логарифмическая функция возрастает?
1. Построить график функции 
и по графику определить свойства (свойства проектируются на экран):
а) область определения,
б) область значений,
в) нули функции,
г) четность,
д) монотонность,
е) интервалы знакопостоянства.
2. С помощью графиков провести исследование взаимосвязи показательной и логарифмической функций по плану, который проектируется на экран, и свести результаты в таблицу.
План:
1. Построить в одной системе координат графики функций 
и 
(разным цветом). Сделать вывод об области определения, множестве значений и о монотонности функций 
в зависимости от .
2. Построить в одной системе координат графики функций 
и 
(разным цветом). Сделать вывод о симметричности графиков функций. Указать характерные точки.
3. Построить в одной системе координат графики функций:
1) и
2) и
4. Сделать вывод:
1) о монотонности функций и 
при 
и при 
;
2) о симметричности графиков функций;
3) о взаимообратимости функций.
5. Составить таблицу по результатам исследования.
|
| показательная функция | логарифмическая функция | |||
| № п/п |
свойства |
|
|
|
|
| 
|
|
| ||
| 1 | область определения | ||||
| 2 | множество значений | ||||
| 3 | монотонность | ||||
| 4 | характерные точки | ||||
| 5 | общее свойство | ||||
основание
Варианты для самостоятельной работы.
Построить график функции и выписать свойства.
В-1
1) 
2) 
3) 
B-2
1) 
2) 
3) 
В-3
1) 
2) 
3) 
B-4
1) 
2) 
3) 
B-5
1) 
2) 
3) 
B-6
1) 
2) 
3) 
B-7
1) 
2) 
3) 
B-8
1) 
2) 
3) 
Практическое занятие №29
Построение графиков логарифмических функций
Цель работы: закрепить знания и совершенствовать умения в работе с логарифмической функцией и решении логарифмических уравнений и неравенств.
Ход работы:
1. Ответить на контрольные вопросы:
1). Дать определение логарифмической функции.
2). Записать теорему, которая применяется при решении логарифмических уравнений.
3). Записать свойство монотонности, применяемые при решении логарифмических неравенств.
2. Выполнить контрольное задание.
Образец выполнения заданий.
1. Построить график функции и записать его свойства: y= 
Решение:
1. Зададим таблицу значений: 2. Построим график функции:
3. Свойства 1). ООФ 2). Множество значений у 3). Монотонность: функция ↑ |
|
y
2. Решить уравнение: 
Решение:
3х-5=4
3х=4+5
3х=9
х=9:3
х=3
Проверка:
х=3 
1=1 - верно
Ответ: х=3
3. Решить уравнение: 
Решение:
(х-2)·(х-3)=2
Проверка:
1+0=1
1=1 - верно
- неверно
Ответ: х=4
4. Решить неравенство: 
Решение:
, то знак меняем на противоположный
Находим общее между этим решением и ООФ
Ответ: 
5. Решить неравенство: 
Решение:
, то знак не меняем
Находим общее между этим решением и ООФ
Ответ: 
Решить самостоятельно
| I вариант | II вариант |
1. Построить график функции и записать его свойства:
| 1. Построить график функции и записать его свойства:
|
2. Решить уравнение:
| 2. Решить уравнение:
|
3. Решить уравнение:
| 3. Решить уравнение:
|
4. Решить неравенство:
| 4. Решить неравенство:
|
5. Решить неравенство:
| 5. Решить неравенство:
|
Дата: 2018-12-21, просмотров: 438.
