1. Записать координаты вектора 
2. Даны векторы 
.
Найти координаты векторов: а) 
, б) 
3. Даны координаты точек A,B,C,D. Равны ли векторы 
и 
?
A(3;-1;5), B(8;-4;8), C(3;-1;0), D(8;0;3).
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A,B,C,D взять из задания 3.
6. Даны векторы 
. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B(-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B(2;10;-5), C(2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Вариант 2
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора 
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) 
, б) 
3. Даны координаты точек A,B,C,D. Равны ли векторы 
и 
?
A(-1;0;2), B(-5;4;1), C(-3;4;5), D(-7;8;4).
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A,B,C,D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B(-2;2;0)
б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Вариант 3
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора 
2. Даны векторы 
.
Найти координаты векторов: а) 
, б) 
3. Даны координаты точек A,B,C,D. Равны ли векторы и ?
A(0;3;-4), B(4;-8;3), C(7;0;-1), D(3;10;-6).
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A,B,C,D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B(-4;4;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).
8. Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Вариант 4
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора 
2. Даны векторы 
.
Найти координаты векторов: а) 
, б) 
3. Даны координаты точек A,B,C,D. Равны ли векторы и ?
A(9;3;-5), B(-3;-1;7), C(-1;-1;-4), D(-11;-3;-8).
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A,B,C,D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B(-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).
8. Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическое занятие №20
Определение синуса, косинуса и тангенса
Цель занятия:
- овладение умениями изображать графики тригонометрических функций и описывать их свойства;
2. Дидактическое оснащение практического занятия: методические указания по выполнению практического занятия; инструменты: линейка, карандаш, ластик.
Пояснение к работе
3.1 Краткие теоретические сведения
Определение 1. Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обзначают sin t.
Итак, если М(t) = М (х;у) , то х = cos t, у = sin t.
Определение 2. Отношение синуса числа t к косинусу числа t называют тангенсом числа t и обозначают tg t.
Определение 3.
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают сtg t .
Функции, заданные формулами:
У = sinх, у = cos х, у = tg х, у = сtg х называют тригонометрическими.
Образец решения
Пример 1. График и свойства функции у = sinх
Рис. 1
Описание свойств функции у = sinх
Таблица 1 Свойства функции у = sinх
| 1. Область определения | R |
| 2. Область значений | [-1; 1] |
| 3. Четность (нечетность) | нечетная |
| 4. Наименьший положительный период | 2π |
| 5. Координаты точек пересечения графика f с осью Ох | (πn; 0) |
| 6. Координаты точек пересечения графика f с осью Оу | (0;0) |
| 7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения | (2πn; π+2πn) |
| 8. Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения | ( - π+2πn; 2πn) |
| 9. Промежутки возрастания | [ - π/2 +2πn; π/2 +2πn ] |
| 10. Промежутки убывания | [ π/2 +2πn; 3π/2 +2πn ] |
| 11. Точки минимума | - π/2 +2πn |
| 12. Минимумы функции | -1 |
| 13. Точки максимума | π/2 +2πn |
| 14. Максимумы функции | 1 |
Задание
Постройте в тетради графики тригонометрических функций, учитывая масштаб: единичный отрезок по оси абсцисс – 3 клетки тетради, по оси ординат – 2 клетки тетради опишите их свойства по образцу примера 1
А) y = cos x
Б) y =tg x
В) y = ctg x
6. Контрольные вопросы
Рис. 2
А)Чему равен период функции у = sin 1/3x, изображенной на рис.2?
Б) В каких точках функция принимает максимальное и минимальное значения?
Практическое занятие №21
Тригонометрические тождества
Цель: Научиться преобразовывать тригонометрические выражения с использованием основных тригонометрических тождеств.
Оснащение рабочего места: инструкционная карта, микрокалькулятор.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Задание 1.1.Дано: 
, 
. Вычислить: 1) 
2) 
3) 
2. Дано: 
, 
. Вычислить: 1) 
2) ) 
3)
3. Дано: 
, 
. Вычислить: 1) 2) 3)
4. Дано: 
, 
. Вычислить: 1) 2) 
3)
Задание 2.Упростить выражения
1. 
2. sin4 
+ cos4 +2sin2 cos2
Методические указания
Для решения практической работы используются
«Основные тригонометрические тождества»
sin2  +cos2  =1
| 1+ tg2  = 
|
tg ctg  =1
| 1+ ctg2  = 
|
и таблица нахождения функции через данную тригонометрическую функцию.
Контрольные вопросы
1. Какие функции называют тождественно равными?
2. Какие приемы используются при доказательстве тригонометрических функций?
3. Что называется тождеством?
Практическое занятие № 22
Применение тригонометрических тождеств к преобразованию тригонометрических выражений
Цель: учащиеся должны научиться преобразовывать тригонометрические выражения.
Задачи:
1. Формирование навыков применения основных тригонометрических тождеств для преобразования выражений, доказательства тождеств.
2. Развитие логического мышления при преобразовании выражений.
Тригонометрический тренажер.
Вычислите: 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Вычислите: а) 
б) 
Значения тригонометрических функций.
№1. Упростить выражение:
cos2 α + 1 + sin2 α
№2. Дробь 
выразить через tg α и вычислить, если tg α=5.
№3. Доказать тождество: 
№4. Доказать тождество: 
.
№5. Доказать тождество: 
Работа на доске и в тетрадях.
1. Найдите значение выражения 
, если tg α=2.
2. Приведите к более простому виду выражение: 
3. Докажите тождество: 
4. Упростить выражение: 
Практическое занятие № 23
Выполнение заданий с применением формул сложения
Формулы сложения.
+ 
- 
- 
+ 
№ 1. С помощью формул сложения вычислить:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
№ 2. Вычислить:
1) 
+ 
2) 
- 
3) 
+ 
4) 
- 
5) 
+ 
6) 
- 
7) 
+ 
8) 
- 
№ 3. Вычислить:
1) 
, если 
, 
, 
, 
2) 
, если 
, 
3) 
, если 
, 
, 
,
4) 
, если 
, 
№4. Упростить выражения:
+ 
- 
-
+ 
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Выведем формулы, синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.
= 
= 
+ 
= 
= 
= 
- 
= 
- 
Пример 1. Вычислить , если 
, 
Решение: = 
= 
= 
т.к. 
= 
= = 
= 0,96
Пример 2. Вычислить 
, если 
Решение: = - = 
- = 0,09 -
т.к.
= 0,09 - = 0,09 – 0,91 = - 0,82
№ 1. Выразить синус, косинус, используя формулы двойного аргумента
№2. Вычислить:
1) 
2) 
№3. Вычислить:
3) 
4) 
- 
5) 
1) , если 
, 
2) , если 
,
3) , если 
4) , если 
Практическое занятие № 24
Выполнение заданий с применением формул двойных углов
Цель:
- вывести формулы двойного угла;
- учить применять формулы для упрощения тригонометрических выражений;
№ 1
Вычислите:
а) 
= 
) = 
+ 
=
= 
+ 
= 
+ 
.
б) 
= 
= 
+ 
=
= - 
= 
.
№ 2
Докажите тождество:
а) 
.
.
.
.
.
= 
- – 
– 
.
– = 
– .
.
№ 3
Косинусы двух острых углов треугольника равны 
и 
. Найдите синус третьего угла.
; 
. Найти 
.
Т. к. 
углы треугольника, то это углы I или II четверти.
= 
= 
= 
.
1)
= 
= 
= 
,т.к. 
.
2) 
= 
= 
= 
,т.к. .
3) = 
+ 
= 
+ 
.
Ответ: 
+ .
«Формулы двойного угла»
№ 1
Запишите угол в виде 2 
- некоторый угол:
а) 300; б) 900; в) 
; г) 
; д) 4 
; е) ; ж) 
.
№ 2
Упростите выражение:
а) 2 
б) 4 
в) 5 
г) 4 
№ 3
Упростите выражение:
а) 
– 
б) 
в) 
г) ( 
№ 4
Упростите выражение:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
- 
.
Самостоятельная работа
Упростите выражение:
Вариант 1.
1) 
; 2) 
.
Вариант 2.
1) 
; 2) 
.
Ответы.
Вариант 1: 1) 2 
; 2) 
.
Вариант 2: 1) 2 
; 2) 
.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 2538.
