Параллельными координатным осям.

Теорема 1. Уравнение эллипса с центром в точке  оси симметрии ко-

торого параллельны осям Ох, Оу, полуоси равны  имеет вид:

Уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями  имеет вид:

Доказательство следует из формул параллельного переноса преобразования

декартовой системы координат.

Теорема 2. Параболы, изображённые на следующих рисунках, имеют соответ-

ствующие уравнения:

п.6. Общее уравнение линий второго порядка – это уравнение вида:

, где

Если в общем уравнении кривой второго порядка на плоскости либо B = 0

 (нет слагаемого с произведением перемен­ных), либо A = C = 0 (нет слага-

емых с квадратами переменных), то такое уравнение называют неполным.

Неполное уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса  системы коорди­нат и, возможно, дополнительного поворота системы коорди-

нат на плоскости на угол  или  можно преобразовать либо в каноническое уравнение эллипса, либо в каноническое уравнение гиперболы,

либо в каноническое уравнение параболы, либо в уравнение гиперболы в асимптотах. Кроме того, есть особые случаи, когда уравнение не сводится

ни к одному из вышеперечисленных (случаи вырождения кривой второго порядка).

С другой стороны, уравнения эллипса, гиперболы и окружности после пре-

Образований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторо-

ну, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов)                  можно записать с помощью неполного уравнения кривых второго порядка:

Теорема3. Неполное уравнение кривых второго порядка: где коэффициенты не равны нулю одновременно, всегда определяет:

1) либо окружность, при  2) либо эллипс, при

3)либо гиперболу, при  4) либо параболу, при

При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку

или мнимый эллипс (окружность); для гиперболы – в пару пересекающихся

прямых; для параболы – в пару параллельных прямых.

Пример 1. Установить вид кривой второго порядка, заданной

Пример 2. Установить вид кривой второго порядка, заданной

 Пример 3. Установить вид кривой второго порядка, заданной

Теорема 4. Общее уравнение кривой второго порядка:

,                                    (1)

в котором коэффициенты одновременно не обращаются в нуль,

сводится к неполному уравнению:

                                     (2)

где коэффициенты не равны нулю одновременно,

при повороте осей на угол удовлетворяющий условию:

Доказательство следует из формул поворота координатных осей на угол

                                                                     (3)

Выразим старые координаты через новые, для этого подставим формулы

(3) в уравнение (1).