Исследование формы эллипса по его уравнению.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

План лекции №7 АГ

Лекция 7. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Оптическое свойство. Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка. Параметрические уравнения окружности, эллипса и гиперболы.

Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением

(1)

в котором коэффициенты одновременно не обращаются в нуль.

или

в котором коэффициенты одновременно не обращаются в нуль.

Будут описаны известные кривые второго порядка и их свойства, показано, как можно упростить некоторые частные виды уравнения второго порядка при помощи преобразования параллельного переноса системы координат и определить вид кривой и ее характеристики.

п.1. Окружность является простейшей кривой второго порядка.

Определение. Окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию:

Пусть -произвольная точка окружности. Тогда

. Значит

(2).

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

Раскроем скобки и приведём уравнение (2) к виду (1):

Сравнивая это уравнение с общим уравнением кривой второго порядка (1), получим, что для уравнения окружности выполняются два условия:

П.2. ЭЛЛИПС

Пусть - произвольная точка эллипса.

По определению эллипса: В координатной форме это уравнение запишется в виде:

(3).

Преобразуем уравнение (3):

(4).

Определение. Каноническим уравнением эллипса называется уравнение: (5).

Определение.

(6)

С учётом равенства (4), формулу (6) можно переписать в виде:

Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы и отстоят от центра эллипса на расстояние Расстояние от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса. Этот параметр равен

То есть

Теорема. Если - расстояние от произвольной точки эллипса

6. Из равенства (4): следует, что Если то уравнение (5) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось - на оси Ох. Фокусы такого эллипса

7. Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы и F₂M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы .

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса , сконцентрируются во втором фокусе F₂, и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса.

п.3. ГИПЕРБОЛА

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда, по определению гиперболы, получим: В координатной форме это равенство примет вид:

После упрощений, (самостоятельно, как это было сделано при выводе уравнения эллипса), получим каноническое уравнение гиперболы:

(7),

где (8).

Гипербола это линия второго порядка.

П.4. ПАРАБОЛА

Определение. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директрисой параболы. При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке.

Эту точку называют вершиной параболы. Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой.

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса. Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные —каноническими.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Его называют фокальным параметром параболы.

Тогда фокус имеет координаты F (р/2; 0), а директриса d описывается уравнением: x = —р/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением:

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и приведём подобные члены, получим уравнение:

Уравнение называется каноническим уравнением параболы. Парабола – это линия второго порядка.

Оптическое свойство параболы.

Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы .

Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

также определяют параболы.

Таблица 1.

Таблица 2

План лекции №7 АГ

Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением

(1)

в котором коэффициенты одновременно не обращаются в нуль.

или

в котором коэффициенты одновременно не обращаются в нуль.

п.1. Окружность является простейшей кривой второго порядка.

Пусть -произвольная точка окружности. Тогда

. Значит

(2).

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

Раскроем скобки и приведём уравнение (2) к виду (1):

П.2. ЭЛЛИПС

Пусть - произвольная точка эллипса.

По определению эллипса: В координатной форме это уравнение запишется в виде:

(3).

Преобразуем уравнение (3):

(4).

Определение. Каноническим уравнением эллипса называется уравнение: (5).

Исследование формы эллипса по его уравнению.

1. Уравнение (5) содержит только в чётных степенях. Поэтому, если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох, Оу и относительно точки О(0,0), которую называют центром эллипса.

2. Найдём точки пересечения эллипса с осями координат. Положив находим две точки в которых ось Ох пересекает эллипс. Подставив в уравнение (5), получим точки пересечения эллипса с осью Оу:

3. Из канонического уравнения эллипса следует, что каждое слагаемое в левой части уравнения не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства: Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми