1. Уравнение (7) содержит только в чётных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, то ей также принадлежат точки  Отсюда следует, что гипербола симметрична относительно осей Ох, Оу и относительно точки О(0,0), которую называют центром гиперболы.

2. Найдём точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив находим две точки  пересечения гиперболы с осью О. Подставив в уравнение (7), получим  Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

3. Из канонического уравнения гиперболы (7) следует, что уменьшаемое  Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой  (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой  (левая ветвь гиперболы).

4. Из канонического уравнения гиперболы видно, что когда  возрастает, то  тоже возрастает. Это следует из того, что разность  сохраняет постоянное значение, равное единице.

5. Гипербола   имеет две асимптоты:

                                                                     (9).

При построении гиперболы (7) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы, провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины  гиперболы.

6. Гипербола называется равносторонней, если её полуоси равны. Её каноническое уравнение:                                                      (10)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения

т.е. являются биссектрисами координатных углов.

7. Эксцентриси­тетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через .   для гиперболы, описываемой уравнением: . Эксцентри­ситет гиперболы всегда попадает в интервал  Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен ,( т.е.

8.

9.

10. Оптическое свойство гиперболы, аналогично оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от бли­жайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.

Гипербола, приведённая к асимптотам.

(Самостоятельно; см. электронную лекцию №8, стр. 71) :

П.4. ПАРАБОЛА

Определение. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксиро­ванной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директрисой пара­болы. При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке.

Эту точку называют вершиной параболы. Она расположе­на в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой.

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости нача­ло координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса. Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные —каноническими.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Его называют фокальным па­раметром параболы.

Тогда фокус имеет координаты F (р/2; 0), а директриса d описывается уравнением: x = —р/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением:

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и приведём подобные члены, получим уравнение:

Уравнение называется каноническим уравнением параболы. Парабола – это линия второго порядка.

Оптическое свойство параболы.

Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы .

Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

также определяют параболы.