Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю.
Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:
(3.9)
Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью 
(рис. 3.2). единичные орты 
можно рассматривать как радиус-векторы точек А, В и С соответственно. А производные по времени от радиус-векторов точек дают скорости точек.
|
Следовательно:
; 
; 
(а)
с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):
; 
; 
(б)
сравнивая (а) и (б) находим, что:
; 
; 
; (в)
Подставим эти значения в формулу (3.7)
Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.
(3.10)
Его величина
(3.11)
|
В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы 
и 
, в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора 
к вектору 
на меньший угол происходящим против часовой стрелки.
Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор спроецировать на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора 
.
Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью 
, а по радиусу платформы двигается точка М с постоянной относительной скоростью V ч (рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает положение Мо, а через промежуток времени 
положение М1. При этом произошло изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось направление вектора ) и изменение переносной скорости за счет относительного движения (изменилась величина 
в результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются ускорением Кориолиса.
Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения.
В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:
(3.12)
Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.
Рис. 1
Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)
B = A + BA = A + 
´ 
; (1)
B = 
A + 
+ 
= A + 
× ( ´ 
) + 
× ; (2)
где , 
, - векторы угловой скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси, например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxy относительно системы координат Ax'y'z', оси которой параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на наблюдателя, а плоскости Охy и Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка.
Левые части выражений
BA = 
´ ; 
= 
× ( ´ ) = × BA; 
= 
× 
;
являются соответственно векторами скорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z' при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью 
и угловым ускорением 
. Индексы n и t , в выражениях 
и 
указывают, что эти векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке B к окружности радиуса r = AB с центром в точке А. Модули упомянутых векторов 
находятся по формулам
½ BA½ = 
´ AB; ½ 
½ = 
= 
´ AB; ½ 
½ = 
´ AB; (3)
Векторы BA, 
, лежат в плоскости движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы BA, перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор направлен от точки В к точке А . Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия.
Поскольку модуль ускорения может быть вычислен по формуле (3) через угловую скорость тела , обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор 
записывать вслед за известным вектором 
А, т.е. перед вектором .
Векторы и параллельны оси Оz и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось
Модуль проекции равен модулю вектора 
; 
, а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны ( 
, то векторы 
направлены так же, как и 
, или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов 
сводится к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'.
Если 
(рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором 
(рис. 1) и за положительное направление отсчета угла 
для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то
рад/с; 
= 
= 
рад/с. (4)
О направлении векторов и судят по круговым стрелкам 
и 
согласно правилу: "круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz".
Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,
´ 
; B = 
; 
;
; 
, (5)
следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Рz с угловой скоростью .
|
|
Если отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки 
A к направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговой стрелки 
. Этот факт можно использовать для определения направления вектора .
Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),
; 
; (6)
,
следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Qz с угловой скоростью 
и угловым ускорением .
Угол 
отсчитывается от вектора ускорения какой-либо точки в направлении круговой стрелки 
. При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по 
и 
, под углом к соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.
Направления векторов и помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул
; 
; 
. (7)
Рис. 4
Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных 
, 
, 
направления 
и 
находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).
Рис. 5
Кинематика плоского движения
катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общем случае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того, что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его центра (точки А) до МЦС является неизменным во времени и равным R.
AP(t) = const = R (8)
Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:
а) формулы естественного способа задания движения точки
, где 
- единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; SA - криволинейная координата точки;
б) формулы (7) плоского движения тела
,
;
- орт оси Оz, перпендикулярной плоскости движения катка Qxy; j - угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом поворота катка.
Дата: 2019-07-30, просмотров: 177.
