На входе и выходе имеем зависимости параметров X и Y от времени t. Задача состоит в определении черного ящика.

Допустим, что на вход системы, до этого находившейся в нулевых начальных условиях, подали единичный сигнал X(t). Если на выходе будет наблюдаться экспоненциальный сигнал, то это система первого порядка. Для ее описания достаточно одной производной, а в решении модели будет присутствовать один интеграл. Так как один интеграл "всегда порождает" одну экспоненту, два интеграла - две экспоненты. Чтобы определить, является ли кривая экспонентой, в каждой точке проводится касательная до пересечения с линией установившегося уровня. В любой точке T должна быть постоянной величиной. Величина T характеризует инерционность системы (память). При малой величине T система слабо зависит от предыстории и вход мгновенно заставляет измениться выход. При большой величине T система, медленно реагирует на входной сигнал, а при очень большой T - система неизменна.

Звено первого порядка обладает двумя параметрами:

1) инерционность - T

2) коэффициент усиления

Введем понятие передаточной функции как модели динамической системы. По определению передаточная функция - это отношение выхода ко входу

Передаточная функция звена первого порядка имеет вид .

Тогда, используя определение передаточной функции, имеем , где "p" - значок производной ( ).

Далее получим:

В разностном виде уравнение можно записать как (Yi+1 - Yi)*T+Yi*dt = k*Xi*dt. Или выразив настоящее через прошедшее Yi+1 = А* Xi +В* Yi. Здесь А и В весовые коэффициенты. А указывает на вес компоненты Х, определяющей влияние внешнего мира на систему, В указывает на вес Y, определяющей память системы, влияние на ее поведение истории.

В частности, если В=0, то Yi+1 = А* Xi и мы имеем дело с безинерционной системой, мгновенно реагирующей на входной сигнал Y=k*X и увеличивающей его в k раз. Если В=0.5, то нетрудно получить, что при постоянном входном сигнале Х, Yi+1 = А* Xi +0.5* Yi = А* Xi +0.5( А* Xi-1 +В* Yi-1) = ... = А*(1+0.5+0.52+...+0.5n)*Хi-n+0.5n+1*Yi-n = 2*A*Xi-n = k*Xi-n или, изображая на графике, получим затухающую экспоненту. Y стремится к значению входного сигнала X, умноженному на коэффициент усиления k.

Если еще усилить влияние прошлого B=1, то система начнет интегрировать саму себя (выход подан на вход системы)

Yi+1 = А* Xi + Yi добавляя все время входной сигнал, что соответствует экспоненциальному неограниченному росту выходного сигнала. По смыслу это соответствует положительной обратной связи. При B=-1, имеем модель Yi+1 = А* Xi - Yi по смыслу соответствующую отрицательной обратной связи. При определении модели требуется найти неизвестные коэффициенты k и T.

Рассмотрим звено второго порядка.

Звено второго порядка имеет три параметра.

Характеристика: плавный выход из нуля, точка перегиба и бесконечное продвижение к установившемуся состоянию.

Модель - это материальный или мысленно представляемый объект, замещающий в процессе изучения объект-оригинал, и сохраняющий значимые для данного исследования типичные его черты. Процесс построения модели называется моделированием.

Процесс моделирования состоит из трех стадий - формализации (переход от реального объекта к модели), моделирования (исследование и преобразования модели), интерпретации (перевод результатов моделирования в область реальности).