Алгебра F событий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x_n из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами).

Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω, F₀, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = σ(F₀), содержащая F₀.

Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Ω, F₀) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P = P(·) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство (Ω, F₀, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире.

Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Двойственность Колмогорова

Двойственность Колмогорова — двойственность в алгебраической топологии, состоящая в двух изоморфизмах:

Пусть A есть замкнутое множество хаусдорфова локально компактного пространства R.

Двойственность Колмогорова для групп гомологий даёт изоморфизм

,

если H_r(R,G) = 0 и H_{r + 1}(R,G) = 0.

Двойственность Колмогорова для групп когомологий даёт изоморфизм

,

если H^r(R,G) = 0 и H^{r + 1}(R,G) = 0.

Гносеологический принцип

Гносеологический принцип - утверждение, что в мышлении и творчестве человека проявляется только тенденция к поискам более простых (оптимальных) решений. Достижение лучших решений, построенных совсем иначе, таких решений, которые не могут быть получены из предложенного путем мелких улучшений, лежит за пределами того, что может уловить самая изощренная интуиция.

Этот принцип был изложен в письме А. Н. Колмогорова от 27 августа 1963 г. (опубликовано в 2005 г.). В 2005 г. Экспериментальная проверка самообучения человека на моделях подтвердила истинность данного принципа. Поведение человека в таких условиях подобно поиску выхода из трясины: человек делает пробные шаги в разных направлениях. При неудаче он обычно возвращается в исходную позицию (элементарная 0-эвристика). Реже используется и другая тактика: при неудаче делается лишь еще один шаг (элементарная 1-эвристика). Поскольку в экспериментальных лабиринтах с переменной структурой наблюдается явление инвариантности (при воздействии на вход «черного ящика» значение выхода не меняется), то нахождение оптимума блокируется. Исследования показали, что этот принцип действителен для эволюции любых систем.

Средние Колмогорова

Средние Колмогорова (они же — средние по Колмогорову) для действительных чисел x₁, … , x_n — величины ряда (*)

,

где φ — непрерывная строго монотонная функция, а φ^-1 — функция, обратная к φ. При φ(x) = x получают среднее арифметическое, при φ(x) = log x – среднее геометрическое, при φ(x) = x^-1 — среднее гармоническое, при φ(x) = x² — среднее квадратическое, при φ(x) = x^α , α ≠ 0 — среднее степенное.

В 1930 году А.Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина — функция M(x₁, …, x_n), являющаяся:

· непрерывной,

· монотонной по каждому x_i, i = 1, …, n

· симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)

· среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,

· некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид ( * ).

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

Колмогоровы теоремы

Колмогоровы теоремы:

1. Теорема о нормированных пространствах (1934);

2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);

3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).