Расчет будем производить на основании [7]. В инженерной практики принято промышленные холодильные камеры описывать линейным дифференциальным уравнением 1‑го порядка с постоянными коэффициентами. Камеры являются весьма инерционными объектами. Так, например, постоянная времени Т рассматриваемой холодильной камеры равна 100 ч.

Однако промышленные холодильные камеры фактически являются многоемкостными объектами и более точно их следует описывать дифуравнениями выше первого порядка с тем, чтобы проверить насколько целесообразна их апроксимация дифуравнениями первого порядка.

В [7] предлагается описывать холодильную камеру линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:

d² D t d D t

Т₁ * Т₂ ¾¾ + (Т₁ + Т₂) ¾¾ + D t = D t_y

d t ² d t

Используя уравнение (1) и, пренебрегая запаздыванием объекта, проводили исследования двухпозиционной системы регулирования в холодильной камере. Расчет проводили методом Рунге – Кутта (исходный текст программы приведен в приложении).

Метод Рунге – Кутта предназначен для дифференциального уравнения второго порядка вида (c учетом того, что D t_y изменяет свое значение в зависимости от того работают компрессоры или происходит нагрев воздуха в камере за счет естественного притока тепла, или же при отрицательных температурах окружающей среды когда воздух в камере исскуственно подогревается за счет нагревательных элементов или температура в камере падает за счет естественного оттока тепла через стены камеры)

d² D t

D t»= ¾¾ = F ( t , D t, D t’, D t_y),

d t ²

имеющий погрешность R~(h⁵), реализовался с помощью следующих формул [8]:

К ₁ =h * F( t _i ; D t _i; D t’_i; D t_yi);

К ₂ =h * F( t _i +(h/2); D t _i +(h/2)* D t’_i+(h/8)* К ₁ ; D t’_i + ( К ₁ /2); D t_yi);

К ₃ =h * F( t _i +(h/2); D t _i +(h/2)* D t’_i+(h/8)* К ₁ ; D t’_i + ( К ₂ /2); D t_yi);

К ₄ =h * F( t _i +h; D t _i +h* D t’_i+(h/2)* К ₃ ; D t’_i + К ₃ ; D t_yi);

D t _i+1= D t _i+ h*[ D t’_i +(К₁+ К₂ + К₃)/6];

D t’_i+1 = D t’_i + (К₁+ 2*К₂ + 2*К₃ + К₄)/6

Расчет проводился на участке от 0 ч до 200 ч при следующих начальных условиях:

D t ₀= D t0;

D t’₀ = 0.

Вариант 1. Т₁ =100 ч, Т₂ =10 ч, заданный диапазон 0,5 – 1 °С, установившаяся температура при ее росте 10 °С и установившаяся температура при ее снижении минус 3 °С. При этом были получены следующие результаты: фактический диапазон поддержания температуры составил 0,45 – 1,25 °С, а период колебаний 54,2 часа. График переходного процесса и протокол работы приведен в приложении.

При описании холодильной камеры линейным дифуравнением первого порядка следующего вида:

d D t

Т ¾¾ + D t = D t_y

d t

провели аналогичные исследования системы двухпозиционного регулирования, т.е. полагали Т= Т₁ +2* Т₂=120 ч, а остальные данные были такими же, как и в варианте 1. При этом температура поддерживалась в заданном диапазоне (запаздыванием пренебрегали), а период колебаний составил 22,5 ч.

Из приведенных данных следует, что фактический диапазон поддержания температуры при более точном математическом описании холодильной камеры увеличивается в 1,6 раза а период колебаний возрастает в 2,5 раза. Следовательно для приведенных исходных данных рассматривать камеру в упрощенном варианте не следует.

Вариант 2. Т₂ = 0,5 ч, а остальные данные аналогичны варианту 1. По данному варианту получили, что температура поддерживается в заданном диапазоне, а период колебаний составил 21,3 ч. Исследования в упрощенном объекте (Т = 101 ч) показало, что период колебаний получился равным 19 ч. Как видим, для варианта 2 апроксимация холодильной камеры апериодическим звеном первого порядка вполне допустима.

Вариант 3. Поддержание рабочей температуры в камере происходит за счет работы электронагревателей при Т₁ =100 ч, Т₂ =15 ч, заданный диапазон 0,5 – 1 °С, установившаяся температура при ее росте 4 °С и установившаяся температура при ее снижении минус 5 °С. При этом были получены следующие результаты: фактический диапазон поддержания температуры составил 0,307 – 1,082 °С, а период колебаний 73 часа. График переходного процесса и протокол работы приведен в приложении.

Вариант 4. Т₂ =1.5 ч, а остальные данные аналогичны варианту 3. По данному варианту получили, что температура поддерживается в заданном диапазоне, а период колебаний составил 30,3 ч. Исследования в упрощенном объекте (Т = 103 ч) показало, что период колебаний получился равным 29 ч. Как видим, для варианта апроксимация холодильной камеры апериодическим звеном первого порядка вполне допустима.

Как мы можем видеть из рассмотренного выше целесообразно производить апроксимацию холодильной камеры апереодическим звеном первого порядка только в тех случаях когда постоянная времени Т₂ составляет не более чем 0,01…0,025 Т₁ то есть ее влияние на качество переходного процесса – несущественно.

В случае, когда постоянная времени Т₂ составляет 0,1Т₂ то эта апроксимация приводит к значительным погрешностям при расчетах, что недопустимо в современной инженерной практике.

На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: в современной инженерной практике при использовании средств вычислительной техники необходимо для повышения точности расчетов рассматривать промышленную холодильную камеру, как апериодическое звено второго порядка (при Т₂ > 0,01…0,025 Т₁₎