Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако наши наблюдения показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый.
При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю, как нам кажется, важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее решения.
Особое внимание, на наш взгляд, следует обратить на решение задач арифметическим способом, так как именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
Часто учащиеся, ознакомившись со способом решения задач с помощью уравнения, не обременяют себя глубоким анализом условия задачи, стараются побыстрее составить уравнение и перейти к его решению. При этом и введение обозначений, и схема решений, как правило, соответствуют определенному шаблону.
В этом случае задача учителя — показать учащимся на примерах, что решение задач по шаблону часто приводит к значительному увеличению объема работы, а иногда и к усложнению решения, в результате чего увеличивается возможность появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить, прежде чем составлять уравнение для решения задачи, внимательно изучить условие задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует ее условию, попытаться решить задачу без использования уравнений, арифметическим способом.
К сожалению, довольно широко распространено мнение, что решение задач повышенной трудности арифметическими методами излишне ввиду существования более сильного метода решения задач с помощью составления уравнения.
Существует и другое мнение, опирающееся на наблюдения за учащимися, согласно которому решение задач только алгебраическим методом ведет к одностороннему математическому развитию учащихся. Следует учитывать и то, что для составления уравнения следует использовать определенные арифметические навыки, понимание зависимостей между величинами. Кроме того, существует ряд задач, решение которых арифметическими методами изящнее и проще, чем с помощью уравнений.
В качестве примера рассмотрим задачу: «Два мотоциклиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункты А и В, мотоциклисты сразу же повернули назад и встретились вновь в 25 км от А. Сколько километров между А и В?»
Решение этой задачи с помощью уравнения представляет для учащихся определенные трудности: не случайно в школьном учебнике аналогичная задача помещена в разделе «Задачи повышенной трудности для 8 класса».
На наших занятиях учащиеся решали эту задачу, не составляя уравнения, а рассуждая так. От начала движения до первой встречи оба мотоциклиста проехали расстояние равное АВ, а к моменту второй встречи проехали втрое большее расстояние. Таким образом, каждый из них до второй встречи проехал втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В, до первой встречи проехал 50 км. Следовательно, до второй встречи он проехал 150 км (50 ´ 3 = 150). Поэтому расстояние от А до В равно 125 км (150 – 25 = 125).
При таком подходе эту задачу могут решить учащиеся не только VIII, но и V класса.
Арифметический способ решения задач, когда шаблонный метод не легко приводит к результату, является, как свидетельствуют наши наблюдения, одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого решения учащихся. С помощью специально подобранных задач, которые могут заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения, приводящего к решению задачи. Иллюстрацией сказанного служит задача № 1287 из [5]. (Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин. раньше пешехода, возвратился обратно в А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от В. На весь путь всадник затратил 1 час 40 минут. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.)
Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.
Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению двух целей. Первая — помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой; вторая — так развить способности ученика, чтобы он мог в будущем решить любую задачу школьного курса самостоятельно. Эти две цели, безусловно, связаны между собой, так как, справившись с заданной достаточно трудной для него задачей, учащийся несколько развивает свои способности к решению задач вообще.
Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач несколькими способами мы обращали внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными. Поясним сказанное примером.
При решении задачи «Что больше: 
или 
?» ([5], № 1263) учащиеся, как правило, применяют наиболее естественный в данном случае способ решения — приведение дробей к общему знаменателю и сравнение их числителей.
Мы познакомили учащихся и с другими способами решения этой задачи, которые могли оказаться полезными при решении других задач.
Так, вычтя из обеих дробей по 0,1, мы получили дроби с одинаковыми числителями, которые сравним устно:
Так как 
> 
, то 
> 
.
Можно сравнить данные дроби и другим способом: умножив каждую из дробей на 10 и выделив единицу, будем иметь
Так как 
> 
, то первая из данных дробей больше второй.
Иногда бывает целесообразным решить задачу в общем виде, хотя, как правило, числовые данные призваны упрощать решение задачи.
Семиклассникам была предложена задача: «Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c, d, таких, что значение многочлена ax3 + bx2 + cx + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62» ([5], № 1273).
Наряду с решением этой задачи с помощью составления системы уравнений для заданных числовых значений было дано решение задачи в общем виде. Из системы
получали 
, откуда следовало, что для целых a, b, c, х1, х2, А, В выражение А – В всегда кратно х1 – х2. Подставив х1 = 62, х2 = 19, А = 2, В =1, получали, что А – В не делится на х1 – х2 (1 не делится на 43). Следовательно, утверждение задачи доказано.
Такой способ решения позволил нам (и ученикам) варьировать условие этой задачи, импровизировать на ее тему.
Например, было предложено учащимся заполнить недостающие данные в условиях следующих задач:
Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c и d, таких, что значение многочлена ax3 + bx2 + cx + d равно 1 при х =… и равно 2 при х =… .
Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c и d, таких, что значение многочлена ax3 + bx2 + cx + d равно … при х = 19 и равно … при х = 2.
Полезно также предложить учащимся составить и решить другие задачи на данную тему, основываясь на решении задачи в общем виде.
Заметим, что частое использование одного и того же метода при решении задач иногда приводит к привычке, которая становиться вредной. У решающего задачу вырабатывается склонность к так называемой психологической инерции. Поэтому, как бы ни казался учащимся простым найденный способ решения задачи, всегда полезно попытаться найти другой способ решения, который обогатит опыт решающего задачу. Кроме того, в некоторых случаях, получение того же результата другим способом служит лучшей проверкой правильности результата.
В заключение нами было проведено вторичное тестирование. Для проведения повторных испытаний использовался вариант методики альтернативный «рычаговому», предполагающий «открытие» условия равновесия ворота.
Результаты вторичного испытания отражены в таблице:
| октябрь 1995 г. | март 1996 г. | |||||||||||
| в | с | н | в | с | н | |||||||
| экспериментальные классы | 18 | 35% | 26 | 50% | 8 | 15% | 28 | 54% | 22 | 42% | 2 | 3% |
| контрольный класс | 10 | 36% | 14 | 50% | 4 | 14% | 11 | 39% | 14 | 50% | 3 | 11% |
Как видим, результаты во всех классах улучшились. Однако, далеко не пропорционально. Сравнительно небольшое улучшение показателей «контрольного» класса мы склонны отнести за счет привыкания учащихся к подобному тестированию (и, конечно, мы полагаем, что изучение математики и по стандартной методике способствует активизации творческой мыслительной деятельности учащихся). Улучшение же показателей «экспериментальных» классов (причем в более значительной степени нежели в «контрольном» классе) дает нам основание считать гипотезу, выдвинутую нами в начале нашей работы, подтвердившейся и конкретные методические приемы по развитию продуктивного мышления школьников заслуживающими внимания.
Мы не считали наш результат конечным. Необходимо и далее разрабатывать и усовершенствовать приемы и методы развития продуктивного мышления, в зависимости от индивидуальных свойств и особенностей каждого отдельно взятого учащегося. Многое также будет зависеть от педагога-предметника, от того, будет ли он учитывать особенности познавательных процессов школьников и применять приемы активизации продуктивного мышления в ходе объяснения и закрепления материала, будет ли он строить свои уроки на ярком, эмоционально окрашенном рассказе или чтении текста учебника и от многих других фактов.
Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:
1. Экспериментальные занятия по курсу математики в 7 классах СШ № 18 г. Астрахани были достаточно продуктивны. Нам удалось достичь основной цели данного исследования — выработать ряд методических приемов, включенных в обычные программные уроки и позволяющих овладевать приемами продуктивного мышления, а следовательно облегчать усваиваемость материала и активизировать творческие способности школьников.
2. Анализ учебного материала, предшествующий практической части работы, позволил структурировать отобранный материал наиболее логичным и приемлемым способом, в соответствии с целями исследования.
3. Результатом проведенной работы являются несколько методических рекомендаций к курсу математики:
1) В целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка новых методик использования нестандартных задач.
2) Систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и самостоятельности.
3) Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы.
4) Целесообразно использование на уроках задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.
5) Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов у каждого из них, используя задания различного типа.
Таким образом, проведенное нами исследование позволяет утверждать, что работа над формированием навыков продуктивного мышления у учащихся дело важное и необходимое. Поиск новых путей активизации творческой деятельности школьников является одной из неотложных задач современной психологии и педагогики.
Список литературы
1. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.
2. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.
3. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.
4. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.
5. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Немков, С. Б. Суворова.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1991.
6. Атахов Р. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, №5, 1995.
7. Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике. Минск, 1988.
8. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.
9. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1986.
10. Калмыкова З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М., 1981.
11. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи.
12. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. М., 1991.
13. Крутецкий В. А. Основы педагогической психологии. М., 1972.
14. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.
15. Крутецкий В. А. Психология обучения и воспитания школьников.
16. Людмилов Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике. Пермь, 1975.
17. Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., 1972.
18. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет. Под ред. И. В. Дубровиной, Б. С. Кругловой. М., 1988.
19. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. М., 1990.
20. Пойа Д. Как решить задачу: Пособие для учителей. М., 1961.
21. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1970.
22. Пойа Д. Математическое открытие. М., 1976.
23. Пономарев Я. А. Знание, мышление и умственное развитие. М., 1967.
24. Пономарев Я. А. Психология творческого мышления. М., 1960.
25. Пономарев Я. А. Психология творчества и педагогика. М., 1976.
26. Проблемы диагностики умственного развития учащихся. Под ред. Н. А. Менчинской. М., 1961.
27. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.
28. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск, 1966.
29. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М., 1983.
30. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. М., 1989.
31. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М., 1979.
32. Яковлева Е. Л. Психологические условия развития творческого потенциала у детей школьного возраста. Вопросы психологии, №5, 1994.
Отзыв
о дипломной работе студента 5-го курса
физико-математического факультета АГПИ
Гудырина С. Н. на тему
“Развитие продуктивного мышления
на уроках математики”
Работа Гудырина С. Н. исследует формы учебной деятельности на уроках математики. Она освещает вопрос целенаправленного развития навыков продуктивного мышления школьников.
Структура и содержание дипломной работы отвечает поставленным целям.
Первая часть выполнена в теоретическом плане. В ней интересно и глубоко рассмотрены вопросы теории продуктивного мышления. Анализ большого количества литературы по данной тематике позволил автору определить понятие “продуктивное мышление”, основные его показатели и выделить некоторые психолого-педагогические принципы развития продуктивного мышления учащихся.
Практическая часть проведена в форме исследования и представляет собой поиск наиболее эффективных форм учебной деятельности, позволяющих строить учебный процесс на уроках математики с учетом творческих способностей школьников.
Выводы и оценки автора аргументированы, подтверждены фактическим материалом, полученным в ходе проведенного эксперимента.
Необходимо отметить самостоятельность и творческий подход автора в постановке цели и выдвижении гипотезы, подборе экспериментальных методик.
Мы полагаем, что работа Гудырина С. Н. отвечает всем требованиям дипломной работы, она, несомненно, будет способствовать дальнейшей разработке указанной проблематики.
Работа заслуживает высокой оценки “отлично”.
Кандидат психологических
наук, доцент, заведующий
кафедрой психологии Кайгородов Б. В.
Старший преподаватель
кафедры математического
анализа Сикорская Л. В.
Дата: 2019-07-24, просмотров: 231.
