Метод укрупнения интервалов

Простейший метод сглаживания уровней ряда — укрупнение интервалов, для которых определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к коротким промежуткам времени.

Метод скользящей средней

По сути метод скользящей средней несколько схож с предыдущим, но в данном случае фактические уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, охватывающих т уровней ряда.

Например, если принять т = 3, то сначала рассчитывается средняя величина из первых трех уровней, затем находится средняя величина из второго, третьего и четвертого уровней, потом из третьего, четвертого и пятого и т.д., т.е. каждый раз в сумме трех уровней появляется один новый уровень, а два остаются прежними. Это и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях. Рассчитанные из т членов скользящие средние относятся к середине (центру) каждого рассматриваемого интервала.

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов т, но удобнее, если т — нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке — середине (центру) интервала. Если же т — четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по четырем членам средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей датой, следующая средняя - между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временным точкам (датам), из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определенной дате (периоду). Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием.

Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном т на (т — 1)/2 с каждого конца, а при четном — на т/2 с каждого конца.

Аналитическое выравнивание

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда - выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней уi теоретическими уt, которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические ровни рассматриваются как функция времени: yt = f(t).

При этом каждый фактический уровень yt рассматривается как cумма двух составляющих: уi =f(t) +ξt, где f(t)=yt — систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а ξt — случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции yt = f(t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

• расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

В аналитическом выравнивании наиболее часто используются следующие простейшие функции:

• линейная (прямая):

• показательная:

• гиперболическая:

• парабола 2-го (или более высокого) порядка:

• ряд Фурье:

Здесь уt — теоретические (выравненные) уровни (читается: «игрек, выравненный по t»), t — условное обозначение времени (1, 2, 3, ...), а0, a1, а2 — параметры аналитической функции, k — число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определенную вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (уравнение) для аналитического выравнивания.