Пусть К - середина отрезка AM , В' - точка пересечения прямой ВМ со стороной АС. Нам достаточно доказать, что АВ' = В'С. Через точки К и  параллельно прямой ВМ проведем отрезки KL и N (рис. 1). Поскольку АК - КМ = М  и С = В, по теореме Фалеса получаем

AL = LB ' = B ' N =; NC .

АВ'=В'С.

Второе доказательство(8 класс).

Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом -1/2. Точка А переходит при этой гомотетии в . Пусть В переходит в В' (рис. 2). Тогда  = -  АВ. С другой стороны, средняя линия  получается из стороны ВА при гомотетии с центром С и коэффициентом 1/2; таким образом:

=

Итак, , следовательно, В'= . Таким образом, треугольники ABC и  гомотетичны, причем центр гомотетии лежит в точке М. По определению гомотетии, точки В, М и В' =  лежат на одной прямой.

Третье доказательство(9 класс).

Рассмотрим треугольники MAC и М С (рис. 3). Их высоты, опущенные из вершины С, совпадают, а длины противолежащих этой вершине сторон относятся как 2:1, поэтому , где S обозначает площадь. Аналогично, . Но . Следовательно,

. Таким образом, треугольники МАВ, МВС и МСА равновелики. Пусть В' - точка пересечения прямых ВМ и АС. Докажем, что АВ' = В'С. С одной стороны,

С другой стороны,

.

Пользуясь теоремой

,

отсюда получаем

.

Четвертое доказательство (9 класс).

ВМ= ВС + СА+АМ=ВС + СА+

Следовательно, точка М лежит на медиане .

Пятое доказательство (9 класс).

Опять рассмотрим точку В' пересечения прямых ВМ и АС (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам АВ'В и СВ'В, а затем - к треугольникам АВМ и ВМ и учитывая, что sin AB ' B = sin CB ' B , sin AMB = = sin MB , BC=2 B и МА =2M , получим

.

Шестое доказательство(10 класс).

Проведем через точки А и В плоскость а, не содержащую С, и построим в этой плоскости правильный треугольник ABC (рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции следует, что параллельная проекция вдоль прямой С  переводит треугольник АВС в треугольник АВ , причем медианы треугольника ABC проектируются в медианы треугольника AB . Но в правильном треугольнике медианы являются и биссектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также (докажите!), что для треугольника AB  справедливы равенства (1).

Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для треугольника АВС.

Упомянем еще одно, быть может, самое простое и естественное доказательство теоремы о медианах: если поместить в вершины треугольника равные массы и поочередно группировать их парами, мы получим, что центр всех трех масс лежит на каждой из медиан. Центр системы равных масс, помещенных в некоторые точки, называется центроидом этого набора точек, поэтому и точку пересечения медиан треугольника часто называют его центроидом.

Заключение

Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.

2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.

3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.