На основе экспериментальных и промысловых исследований было показано, что капиллярные процессы при заводнении нефтеносных пластов сопровождаются встречными движениями, противотоками нефти и воды. В работе получены экспериментальные зависимости для расхода, скорости и глубины капиллярной пропитки.

Рис.6 Схема микронеоднородной пористой среды, мсжслойных и капиллярных противотоков нефти и воды и вытеснения остаточной нефти при p_k - p_c ≠ const

Аналогичные зависимости можно получить и аналитическим путем. Как уже отмечалось, исследованиями установлено, что микронеоднородность пористой среды может выражаться некоторой функцией распределения пор по размеру F (δ). Для песчаника, например, распределение пор по размеру подчиняется нормальному или логарифмически нормальному закону с диапазоном изменения размеров пор от нуля до 500 мк и более. В этих условиях, исходя из классической зависимости между капиллярным давлением и размером поровых каналов, очевидно, что при капиллярном межслойном противотоке внедрение воды в нефтенасыщенные слои происходит по наиболее мелким, а переток нефти по более крупным поровым каналам (рис.6). Расход жидкости и скорость внедрения воды при капиллярной пропитке можно выразить через функцию распределения размеров пор.

Плотность вероятности распределения размеров пор при логарифмически нормальном законе описывается выражением

f (δ) =  (8)

где δ - размер, или сечение, поровых каналов; σ - стандартное отклонение; lnε - среднее значение ln δ.

Функция распределения размеров пор

F (δ) = f (δ) d (δ) (9)

Связь между средней проницаемостью среды k_ср и размерами поровых каналов устанавливается в виде

 (10)

где Г₀ = χ / l - коэффициент извилистости, т.е. отношение длины пути χ, пройденного жидкостью, к геометрической длине l пористой среды.

Фактически коэффициент извилистости Г₀ отображает избирательный характер фильтрации жидкости в микронеоднородной пористой среде и, следовательно, может выражаться через плотности вероятности распределения размеров пор, т.е.

Г_o = f (δ) _max / f (δ) _{i (}11)

Можно полагать, что в процессе капиллярной пропитки фильтрация жидкости происходит избирательно, как и при движении за счет внешнего перепада давления. Тогда в любом сечении пласта, нормальном направлению капиллярной пропитки, поры с размерами 0 ≤ δ ≤δ_i,. будут затоплены водой, а с размерами δ ≤ δ_i ≤ δ_шах нефтенасыщенны (рис.7). Причем суммарный расход жидкости через любую такую плоскость равен нулю, т.е.

q_в = - q_н = [S k_гар (∆p_k ± h∆γ)] / μ_cph_cpГ₀ (12)

где k_гар - средняя гармоническая проницаемость по линии тока жидкости, определяемая по формуле:

k_гар = 2/ (1/k_{ср. в} + 1/ k_{ср. н}) (13)

Рис.7 Распределение размеров пор в песчанике, k = 1д, m = 18,4% (по В.Н. Николаевскому и А.Ф. Богомоловой)

1 - размеры пор, в которые внедряется вода;

2 - размеры пор, из которых вытесняется нефть.

k_{cp. в}, k_{cp. н} - средняя проницаемость поровых каналов, соответственно заполненных водой и нефтью; ∆р_к-разность средних капиллярных давлений в водонасыщенных поровых каналах и нефтенасыщенных:

∆р_к = р_{к. в} (0÷ δ_i) - р_{к. н} (δ_i ÷ δ_max) (14)

δ_{ср. в}, δ_{ср. н} - средние значения размеров водонасыщенных и нефтенасы-щенных каналов, определяемые соотношениями

 (15)

δ_i - размер самого крупного порового канала, затопленного водой; h - глубина (высота) капиллярного внедрения воды в нефтенасыщенный слой; ∆γ - разность удельных весов воды и нефти; т_в и т_н - пористость заводненных и нефтенасыщенных поровых каналов соответственно; μ_ср= (μ_н+ μ_в) /2 - средняя вязкость жидкости по пути фильтрации; S - площадь поверхности фильтрации.

В формулах (13) и (15) k_{cp. в} и k_{cp. н} определяются из соотношения (10) при замене пределов интегрирования в числителе от 0 до δ_i и от δ_i до δ_max соответственно.

Капиллярный перепад давления при капиллярном противотоке значительно проще можно определить другим путем. По распределению размером пор можно получить распределение капиллярного давления, которое ввиду обратной зависимости капиллярного давления от размера пор будет выражаться в виде:

F (p_k) = 1 - F (δ ₎ (16)

Статистическое среднее значение капиллярного давления в микронеоднородной пористой среде можно определить через функцию распределения:

 (17)

где р_к0 - капиллярное давление в самых мелких поровых каналах;

р_кт - капиллярное давление в самых крупных каналах (трещинах).

Для определения перепада капиллярных давлений при противотоке необходимы средние значения их для заводненных р_кв, нефтенасыщенных р_кн каналов, которые равны:

 (18)

 (19)

где α=4σcosθ; р_к, р_кi и р_кт капиллярные давления соответственно в поровых каналах с размером δ_min, δ_i и δ_mах.

Теперь можно определить глубину капиллярного внедрения воды в нефтенасыщенные слои, застойные зоны и линзы. Из условия материального баланса

q_вt = Sh_cp η_в δ_{ср. в}/δ_ср = V η_в η_o (20)

Из соотношений (12) и (20) можно получить зависимость для глубины пропитки пористой среды при капиллярном противотоке без учета гравитационных сил:

 (21)

η_{в -} коэффициент вытеснения нефти водой в заводненных каналах;

η₀= δ_{ср. в}/δ_ср - коэффициент охвата заводнением нефтенасыщенных слоев при капиллярном противотоке.

Остальные параметры к_гар, Г₀, δ_ср и ∆р_к определяются по соотношениям (13), (11), (15), (18) и (19). Подставив их в (21) и приняв m_в = m_н = m/2, что следует из равенства суммарного расхода жидкости при противотоке нулю, получим выражение для глубины капиллярной пропитки:

 (22)

которое аналогично ранее полученному экспериментально в работе [11]. По соотношениям (21) или (22) можно определить не только среднюю глубину, но и скорость капиллярной пропитки. Приняв следующие значения параметров, входящих в формулу (22): σ = 30 дин/см², соsθ = 0,6, η_в = 0,9, μ_ср=2 спз, Г₀ = 2, а значения т = 18%, к_ср= 1д, к_ср. _н=1,6 д, к_{ср. в}=0,4 д, в соответствии с распределением размера пор реального песчаника из работы получим: средняя глубина капиллярной пропитки в течение 1сек с начала пропитки составит 0,05 см , через 1 ч достигнет 3 см , через 1 сутки 14,7 см , через 1 месяц 80,5 см , через 1 год 2,8 м и т.д. Как видно, скорость капиллярной пропитки затухает во времени, а глубина пропитки даже в идеализированных условиях пористой среды - постоянного сечепия каналов и смачиваемости - в течение длительного периода не превышает минимальной мощности нефтенасыщенных слоев при послойном заводнении реальных пластов. Если же учесть, что капиллярная пропитка в реальных условиях должна происходить в пористой среде с неточными поровыми каналами и переменной смачиваемостью, то значения глубины капиллярного внедрения воды во времени будут значительно меньшими.