Толщина фронта УВ в газах имеет порядок длины свободного пробега молекул, т.е. практически можно пренебречь столь малой толщиной и с большой точностью заменить фронт УВ поверхностью разрыва, считая, что при прохождении через нее параметры газа изменяются скачком. В наиболее простом случае распространения УВ в совершенном газе ударная адиабата определяется с помощью закона сохранения энергии на фронте УВ (1.3) и уравнения состояния совершенного газа:

E = pV/(g - 1) ,                                                                                   (1.4)

где g = c_p/c_v - показатель адиабаты.

Используя уравнения (1.3) и (1.4) получим ударную адиабату в виде:

p/p₀ = {(g+1)V₀ - (g-1)V}/{(g+1)V - (g-1)V₀},                               (1.5)

В отличие от газов для жидких и твердых сред получить ударную адиабату подобным образом нельзя, так как уравнения их состояния обычно неизвестны. Поэтому в настоящее время ударные адиабаты жидких и твердых сред определяют экспериментально, а по известной адиабате удается построить уравнения состояния. Для этого давление и полную энергию вещества (жидкости или твердого тела) необходимо представить в виде сумм:

p = p_x + p_T + p_e и E = E_x + E_T + E_e ,                                              (1.6)

где p_x и E_x  - упругие («холодные») компоненты давления и внутренней энергии, обусловленные взаимодействием частиц (атомов, молекул) при T=0; p_T и E_T - тепловые составляющие давления и энергии, обусловленные тепловым движением частиц; p_e и E_e  - электронные составляющие давления и энергии, обусловленные тепловым возбуждение электронов при температурах порядка 10⁴ К и давлениях порядка 10² ГПа. При температурах T<10⁴ К соотношения (1.6) упрощаются:

p = p_x + p_T и E = E_x + E_T ,                                                             (1.7)

Так как составляющие p_x и E_x связаны только с силами взаимодействия между частицами и не зависят от температуры, то они представляют собой изотермы при T=0 К: p_{x =} p_x (V) и E_x = E_x (V). Введем для твердого тела соотношение:

p_T = ГE_T / V ,

Коэффициент Грюнайзена Г(V) равен отношению теплового давления p_T к плотности тепловой энергии E_T / V, колеблется в диапазоне 1...3 при нормальных условиях и связан с величинами p_x и V формулой:

Г(V) = 2/3 - V/2(d²p_x / dV²) / (dp_x / dV) .                                     (1.8)

В жидких и твердых средах величины давления и энергии обусловлены как тепловым движением частиц, так и их взаимодействием (тепловые и упругие составляющие).

Для описания экспериментальных результатов наиболее привлекательна пара переменных D-v . Это связано с тем, что для многих твердых сред выполняется закон:

D = a + bv .                                                                                (1.9)   

где a, b - константы. При фазовых переходах и заметной пористости материала (начальной либо накопленной в процессе деструкционного деформирования) наблюдаются отклонения от линейного закона (1.9).

Введем показатель сжимаемости z = (V₀ - V) / V₀ = 1 - p₀V = v/D . Тогда D = a / (1 - bz) и уравнение (1.2), описывающее закон сохранения импульса на фронте УВ, примет вид при p₀ ~ 0:

p_Г = p₀az / (1 - bz)² ,                                                                    (1.10)

а уравнение для энергии при E₀ ~ 0:

E_Г = zp_Г / 2p₀ .                                                                            (1.11)

Давление и энергию (p и  E) при произвольном сжатии можно связать с их значениями на адиабате Гюгонио (p_Г и E_Г) уравнением состояния:

E = E_Г + (p - p_Г) / рГ ,                                                                  (1.12)

где Г = V(dp/dE)_v - средняя величина параметра Грюнайзена, которую принято считать практически независимой от давления, т.е. pГ = p₀Г₀ (нулевой индекс соответствует значениям при комнатной температуре и нулевом давлении).

Для расчета изэнтроп необходимо использовать термодинамический закон dE = TdS - pdV, который при dS =0 совместно с уравнениями (1.10) - (1.12) позволяет последовательно вычислить значения p, V и E на изэнтропах.

2. Ударные волны в твердых телах.   

2.1. Поведение твердого тела при ударно-волновом нагружении.  

Твердое тело по своей природе является сложной квантово-механической системой. Полное математическое описание такой системы невозможно, поэтому обычно рассматриваются более простые приближенные модели. Ограничения, определяющие тип модели, должны относиться к второстепенным процессам и связаны с характером межатомных сил взаимодействия, типом кристаллической решетки, ее дефектами и структурой, а также с основными микроскопическими физико-механическими свойствами твердого тела.

Параметр Грюнайзена, характеризующий отношение теплового давления и тепловой энергии решетки, для твердого тела задается следующим соотношением:

Г = -d{lnQ(V)} / d{lnx} .                                                              (2.1)

где Q(V) = hw_m / k - температура Дебая, разделяющая высокотемпературную и квантовомеханическую низкотемпературную области (w_m - максимальная частота в дебаевском распределении частот); x =V/V₀ - безразмерная переменная (V - текущий удельный объем, V₀ - удельный объем металла при нормальных условиях).

Процессы деформации и разрушения тела при нагружении изучают как с позиций, основанных на дискретном строении тела, так и на основе макроскопического подхода, связанного с представлением твердого тела в виде области, заполненной непрерывной сплошной средой. Если изучение деформации и разрушения твердого тела с микроскопических позиций основано на анализе искажений кристаллической решетки и соответствующих им напряжений, вызванных действием на тело внешних силовых факторов, то с позиций механики сплошной среды движение частиц тела определяется в большей степени физическим и механическим поведением среды. При этом модель твердого тела может быть представлена сплошной средой с определенными физико-механическими свойствами.

Механическое поведение твердых тел определяется сопротивлением сдвигу, которое связано со свойствами упругости, пластичности и вязкости материала, а также с изменением формы тела. Механическое поведение среды при нагружении описывает уравнение:

s_i = s_i (e_i , e_i`, T, ...) ,                                                                   (2.2)

где (s) - тензор напряжений, (e) - тензор деформаций, (e`) – средняя скорость деформации. Уравнение механического поведения среды (2.2) устанавливают экспериментально или теоретически. При этом для суждения о прочности тела необходимо также привлекать механические характеристики (s_T - предел текучести, s_В - предел прочности) и критерии (условия) прочности. Под прочностью понимают способность тела сохранять свою сплошность в процессе деформации при нагружении.

В начальной стадии деформации (s_i < s_T) тело испытывает упругую деформацию, затем с увеличением интенсивности напряжений (s_i > = s_T) оно деформируется пластически и при       (s_i = s_В) достигает предельного состояния, при котором возможно нарушение сплошности среды, и переходит в стадию разрушения.

Для процессов распространения ударных волн в металлах наибольший интерес представляет динамическая сжимаемость. Свободную энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых: F = U₀(V) + U_D(V, T), где U₀(V) - энергия взаимодействия атомов тела при нулевых колебаний; U_D(V, T) - энергия колебательного движения атомов тела при T>0 К в приближении Дебая. Тогда можно получить уравнение состояния                        Ми - Грюнайзена:

p = - (dU₀ / dV) + Г U_D / V .                                                          (2.3)

Приращение внутренней энергии DE при ударном нагружении твердого тела характеризуется площадью, ограниченной кривой аb (рис.1). Часть энергии DU₀, которой в координатах p-V соответствует площадь, ограниченная кривой «холодного» сжатия    p_x (V), является упругой составляющей и не связана с изменением температуры материала. Разность DU_D = DE - DU₀ определяет приращение тепловой энергии, которая расходуется на нагрев материала при адиабатическом сжатии. В металле, сжимаемом ударной волной, выделение теплоты вызывает сжатие металла до состояния повышенной плотности и пластической деформации металла в условиях, близких к адиабатическим из-за кратковременности процесса ударного сжатия.

Рис. 1. Диаграмма ударного сжатия(p_Г – адиабата Гюгонио; p_x – кривая «холодного» сжатия при T=0К)

Аналогично внутренней энергии давление на ударной адиабате (2.3) можно представить в виде двух слагаемых: упругого («холодного») p_x и теплового p_T давлений. Так как p_x (V) =                = - (dU₀ / dV) и p_T (V, T) = ГU_D / V , то

p = p_x (V) + Г(E - U₀) / V                                                               (2.4)

Параметр Г не зависит от температуры, а его значение можно оценить из следующих соображений. Запишем уравнение состояния (2.4) в виде

p + dU₀ / dV = Г(E - U₀) / V .                                                        (2.5)

Подставив в него выражение для энергии (1.3) при условиях E₀ = U₀ и при p>> p₀ получим уравнение:

V dU₀ / dV + Г U₀ = - {Г p_Г (V)V / 2}{1 + 2 / Г + V₀ / V} ,         (2.6)

где p(V)  заменяется на экспериментальное уравнение адиабаты ударного нагружения p_Г.

Параметр Грюнайзена Г определим путем сравнения двух состояний, соответствующих ударному сжатию сплошного и пористого металлов, до одного и того же объема V₁. Так как разность давлений Dp = p₂ – p₁ вызвана разностью тепловых энергий D U_D = E₂ - E₁ = 0,5[p₂ (V₀₀ - V₀) - p₁ (V₀ - V₁)], где V₀₀ - начальный удельный объем пористого металла, то Dp = D p_Г. Тогда в соответствии с определением параметра Грюнайзена получим:

Г = V₁D p_T / D U_D = 2 / (p₂V₀₀ - p₂V₀) / [V₁ (p₂ - p₁)]^-1 ,                (2.7)

причем для металлов Г ~ 1,6 .... 2 .

Общие принципы построения уравнения состояния твердого тела по данным испытаний на динамическое сжатие основаны на следующих допущениях: а) измеряемые величины p, V, E соответствуют состоянию мгновенного термодинамического равновесия; б) деформации сжатия при данном ударном давлении и эквивалентном гидростатическом давлении тождественны. Первое условие выполняется в элементарном объеме, если термодинамическое равновесие устанавливается за время прохождения ударной волны этого объема (приблизительно 10^-7 с).

Для установления уравнения состояния недостаточно знать адиабату ударного нагружения p_Г(V), так как при умеренных температурах и давлениях до 10² ГПа уравнение состояния характеризуется нулевой изотермой p_x(V) и параметром Грюнайзена Г(V), для которых предполагается существование взаимной связи Г = Г(p_x) .

Полная работа, сообщенная единице массы при импульсном нагружении, равна p(V - V₀). Половина этой работы согласно законам сохранения массы и количества движения (1.1) - (1.2) превращается в кинетическую энергию, а остальная часть идет на повышение внутренней удельной энергии:

E = 0,5p(V₀ - V) .                                                                          (2.8)

 Соотношение (2.8) является адиабатой ударного сжатия среды, в котором p обозначается через p_Г, чтобы отличить ударное сжатие от обычного.

Экспериментальные исследования показали, что при ударных давлениях p < 50 ГПа разогрев металла не оказывает существенного влияния на его свойства, поэтому при решении многих задач вместо уравнения (2.2) можно использовать более простое уравнение      s = s(e) или s = s(p) .

Ударноволновое нагружение - частный случай динамического нагружения. Оно реализуется при взрыве и ударе, характеризуется очень быстрым приложением и кратковременным действием      10^-3 - 10^-6 с. нагрузки, а интенсивность воздействия достаточна для того, чтобы произвести большие изменения в теле вплоть до разрушения. При этом образуются изменяющиеся во времени области локальных напряжений и деформаций, способствующие инициированию процесса разрушения в одной части тела независимо от того, что происходит в другой части.

Импульсное нагружение связано с распространением в теле волн напряжений, при этом тело поглощает значительную часть энергии нагружения, большая часть которой расходуется на неупругую деформацию, реализуемую в виде пластического формоизменения или в виде разрушения. Динамика дальнейшего развития разрушения определяется типом разрушения. Хрупкое разрушение представляет собой разрыв среды без предшествующей пластической деформации или с весьма малой долей этой деформации в области излома, фронт хрупкого разрушения (или хрупкая трещина) распространяется с большой скоростью и требует мало энергии. Вязкое разрушение сопровождается интенсивной пластической деформацией, развитыми процессами скольжения и двойникования, происходящих со скоростью зависящей от условий нагружения и требует для своего развития значительных затрат энергии.

Вид макроскопических пластических деформаций тела при его импульсном нагружении определяется механическими свойствами среды, которые зависят от температуры, скорости нагружения, истории деформации и др. При деформации среды макроскопические дефекты растут и возникают новые дефекты, способствующие нарушению сплошности среды и полному разрушению тела. Состояние материала в этом случае можно охарактеризовать коэффициентом деструкции Д, причем Д = 0 в начальном состоянии и Д = 1 в момент разрушения, т.е. 0 <= Д <= 1. Это означает, что единый процесс деформации и разрушения при импульсном нагружении протекает в две стадии: первая характеризуется дроблением кристаллических блоков, вторая связана с развитием потери сплошности среды и уменьшением ее плотности. Образующиеся повреждения подразделяются на рассеянные дефекты, колонии малых дефектов и магистральные трещины, появляющиеся в финале процесса разрушения.