Контрольная работа №3 «Комплексные числа. Базис. Линейные операторы. Действия над операторами. Квадратичные формы»

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1. Даны четыре вектора и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в новом базисе.

2. Найти сумму, разность и произведение комплексных чисел z1 =-5+2i и z2=1+i.

3. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы А.

4. Привести квадратичную форму к каноническому виду.

Критерии выставления баллов за контрольную работу в соответствии с балльно-рейтинговой системой приведены в следующей таблице. Полнота и правильность решений оценивается с точки зрения применения полученных знаний и математических методов к решениям конкретных задач, на основе знаний, умений и навыков, полученных на лекционных, практических занятиях и при выполнении самостоятельной работы по данному модулю.

Кол-во баллов	Критерии оценки контрольных работ №1-2	Формируемые компетенции
15-13 баллов	Даны полные и правильные решения на 85-100% задач контрольной работы. Студент показывает умение правильно применять математический аппарат и знания к конкретным ключевым задачам, демонстрирует сформированность всех компетенций.	ПК-4
13-9 баллов	Даны правильные решения на 70-84% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или несущественные ошибки. Студент показывает умение применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует наличие основных компетенций.	ПК-4
9-5 баллов	Даны правильные решения на 50-69% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или существенные ошибки. Студент показывает недостаточные умения применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует некоторое наличие компетенции ПК-4	ПК-4
5-3 баллов	Правильно выполнены только 30-49% задач контрольной работы. Студент допускает грубые, существенные ошибки при решениях задач.	ПК-4
2-0 баллов	Решены правильно менее 30% задач контрольной работы. Либо студент присутствовал на контрольной работе, но не сдал ее преподавателю.	__

Кол-во баллов	Критерии оценки контрольной работы №3	Формируемые компетенции
10-9 баллов	Даны полные и правильные решения на 85-100% задач контрольной работы. Студент показывает умение правильно применять математический аппарат и знания к конкретным ключевым задачам, демонстрирует сформированность всех компетенций.	ПК-4
9-7 баллов	Даны правильные решения на 70-84% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или несущественные ошибки. Студент показывает умение применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует наличие основных компетенций.	ПК-4
7-5 баллов	Даны правильные решения на 50-69% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или существенные ошибки. Студент показывает недостаточные умения применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует некоторое наличие компетенции ПК-4	ПК-4
5-3 баллов	Правильно выполнены только 30-49% задач контрольной работы. Студент допускает грубые, существенные ошибки при решениях задач.	ПК-4
2-0 баллов	Решены правильно менее 30% задач контрольной работы. Либо студент присутствовал на контрольной работе, но не сдал ее преподавателю.	__

Вопросы к экзамену

Курс, 1 семестр

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

2. Определитель квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы.

6. Системы линейных уравнений. Метод Крамера.

7. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса.

8. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

9. Обратная матрица. Второй метод вычисления обратной матрицы.

10. Векторы. Основные понятия. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства.

11. Основные задачи в координатах. Скалярное произведение векторов и его свойства.

12. Векторное произведение векторов, свойства.

13. Смешанное произведение векторов, свойства.

14. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

15. Основные задачи с прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Различные виды уравнения плоскости в пространстве.

17. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

18. Уравнения прямой в пространстве.

19. Кривые второго порядка. Окружность.

20. Кривые второго порядка. Эллипс.

21. Кривые второго порядка. Гипербола.

22. Кривые второго порядка. Парабола.

23. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

24. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа.

25. Основные формулы для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

26. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Свойства векторов линейного пространства.

27. Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, свойства.

28. Переход к новому базису. Матрица перехода от базиса к базису.

29. Линейный оператор и его свойства. Образ и прообраз. Матрица линейного преобразования в базисе.

30. Линейный оператор и его свойства. Сумма двух линейных операторов. Произведение линейного оператора на число.

31. Собственные значения (собственные числа) и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен оператора.

32. Основные свойства собственных чисел.

33. Квадратичные формы.

Критерии оценки на экзамене

В каждом билете содержится два теоретических вопроса из списка вопросов к экзамену и одна задача. Данные вопросы позволяют проверить владение студентами компетенции ПК-4. В следующей таблице приведены критерии оценки ответов на экзамене с учетом полученных знаний, умений, сформированности компетенций и с учетом работы студента в течение семестра (баллов по рейтинговой системе).

Оценка	Критерии оценки	Владение компетенциями
Отлично	Ответы на оба вопроса билета полные и правильные, решена задача и даны правильные ответы на дополнительные вопросы. Изложение материала при ответах на вопросы построено грамотно, в определенной логической последовательности. Студент показывает владение всеми компетенциями дисциплины. По итогам работы в семестре по балльно-рейтинговой системе имеет 90-100 баллов.	ПК-4
Хорошо	Ответы на оба вопроса билета правильные, но могут быть недочеты, несущественные замечания, даны правильные ответы на большую часть дополнительных вопросов. Допускаются незначительные неточности в ответах, которые не искажают суть вопросов. Студент показывает владение основными компетенциями дисциплины. По итогам работы в семестре имеет 76-89 баллов.	ПК-4
Удовлетворительно	Даны неполные ответы на вопросы билета, на часть дополнительных вопросов даны правильные ответы. Демонстрируется неполный уровень владения компетенций. По итогам работы в семестре имеет примерно 60-75 баллов.	ПК-4
Неудовлетворительно	Студент не отвечает на вопросы или допускает грубые, существенные ошибки при ответах. Нет владения компетенциями. В течение семестра студентом набрано менее 25 баллов.	__

6 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения дисциплины

	Кол-во экземпляров в библиотеке НФ БашГУ
а) Основная:
1. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера,2011.-909 с., УМО.	25
2. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов/ под ред.: Кремер Н. Ш. 3-е изд. - М.: Юнити-Дана, 2012. - 482 с.Доступ к тексту электронного издания возможен через ЭБС Университетская библиотека online<URL: http://www.biblioclub.ru/book/114541/	Неогр. доступ
3. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера,2007.-480 с., МО РФ.	16
4. Ахтямов, А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие/ А.М. Ахтямов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. – МО РФ	101
б) Дополнительная:
5. Щипачев, В.С. Высшая математика : учеб. для вузов / В.С. Щипачев .— 6-е изд., стереотип. — М. : Высш. шк., 2003 .— 479 с. : ил.	3
6. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/ Л.А. Беклемишева,2002.-496 с.	15

7 Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимых для освоения дисциплины

http://nfbgu.ru/ (Официальный сайт НФ БашГУ)
http://univertv.ru/video/matematika/ (Открытый образовательный видеопортал UniverTV.ru. Образовательные фильмы на различные темы. Лекции в ведущих российских и зарубежных вузах. Научная конференция или научно-популярная лекция по интересующему вопросу).
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm (Учебно-образовательная физико-математическая библиотека).
www.lib.mexmat.ru/books/41-электронная бибилиотека МГУ;
www.newlibrary.ru - новая электронная библиотека;
www. edu.ru- федеральный портал российского образования;
www. mathnet.ru – общероссийский математический портал;
www.elibrary.ru – научная электронная библиотека;
www.mathburo.ru- матбюро: решения задач по высшей математике;
www.nehudlit.ru- электронная библиотека учебных материалов.

8 Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Студенты изучают дисциплину «Линейная алгебра» с помощью посещения лекций, работе на практических занятиях и самостоятельной работы. После изучения теоретического материала на лекциях этот материал закрепляется на практических занятиях с помощью решения задач из учебников и учебных пособий, приведенных в списке рекомендованной литературы.

При подготовке к практическим занятиям студенты должны повторить вначале теоретический материал по новой теме занятия. Затем просмотреть объяснения решения примеров, сделанные преподавателем на предыдущем практическом занятии разобраться с примерами, приведенными лектором по этой же теме. Решить заданные примеры. После этого нужно подготовить теоретический материал к предстоящему занятию, с тем, чтобы применить эти знания к решению задач. Если некоторые задания или теоретические вопросы вызвали затруднения, нужно обратиться за помощью к преподавателю на очередной консультации.

При подготовке к контрольным работам необходимо повторить материал, рассмотренный на практических занятиях по тематике предстоящей контрольной работы, решить соответствующие задачи, повторить нужный теоретический материал (формулы, определения, свойства и т. д.).

Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые следует самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде письменной или устной консультации.

9 Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем

пакет офисных программ MS Office, Maple, MathCad.

10 Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Аудитория для лекционных занятий должна быть снабжена персональным компьютером преподавателя, проектором и экраном. Для практических занятий используются аудиторные и компьютерные классы. Обеспечение наличия рекомендованной литературы, электронных версий методических материалов и доступ интернет ресурсов. Стандартное программное обеспечение (Windows+ MS Office), локальная сеть, безлимитный интернет.

11 Образовательные технологии. Виды, структура и содержание интерактивных и инновационных форм проведения занятий

В процесс обучения студентов по дисциплине «Линейная алгебра» используется компетентностный подход, который акцентирует внимание на результате образования. В качестве результата образования выступает способность будущего выпускника математически грамотно действовать в различных проблемных ситуациях.

Образовательные технологии, используемые в процессе обучения дисциплине «Линейная алгебра» направлены на повышение эффективности учебной работы в целях формирования у студентов необходимых компетенций, знаний, умений, конечных результатов обучения. В указанных целях используется взаимосвязь активных и т традиционных методов обучения.

По данной учебной дисциплине предусмотрены следующие образовательные технологии:

1. лекции;

2. активные / интерактивные формы;

3. практические занятия;

4. самостоятельная работа.

Лекции посвящены основным положениям теории. При изложении учебного материала лекторы используют как традиционные, так и нетрадиционные формы проведения лекций.

Практические занятия по учебной дисциплине проводятся с целью закрепления знаний, полученных студентами на лекциях и в ходе самостоятельной работы. Все практические занятия предусматривают вводные установки преподавателя по теме (или нескольким темам) занятия в течение до 10 минут с целью определения и разъяснения основных задач практического занятия.

Помимо традиционных методов в процессе обучения дисциплине «Линейная алгебра» предусматривается широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий (деловые игры, разбор конкретных ситуаций, мозговой штурм, работа с партнером, групповые дискуссии и т.д.) которые

- позволяют активизировать мышление студента, вовлечь их в учебный процесс;

- стимулирует самостоятельное, творческое отношение студентов к предмету;

- повышают степень мотивации и эмоциональности;

- обеспечивают постоянное взаимодействие обучаемых и преподавателей с помощью прямых и обратных связей.

Количество занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет 20% от аудиторной нагрузки и равно 22 ч. Интерактивные формы проведения занятий предполагают обучение в сотрудничестве. Все участники образовательного процесса (преподаватель и студенты) взаимодействуют друг с другом, обмениваются информацией, совместно решают проблемы, моделируют ситуации. Интерактивные формы проведения занятий могут быть использованы при проведении семинарских занятий, при самостоятельной работе студентов.

Состав, содержание и сроки реализации активных и интерактивных образовательных технологий по формам обучения приведены в таблице 2.

Таблица 3 - Содержание и схема реализации активных и интерактивных технологий обучения

Наименование, цель и содержание активных и интерактивных образовательных технологий

Сроки реализации активных и интерактивных технологий на аудиторных занятиях по формам обучения и их трудоемкость (часов)

Тренинги по темам №: 1-14 Цель ‑ овладение методикой и практическими навыками операций с матрицами и определителями, векторами и с системами уравнений, интерактивного обсуждения выполненных вариантов решений Содержание: письменное решение многовариантных практических задач по анализу уравнений, матриц и определителей и систем уравнений и изложение выводов и предложений по результатам проведенного анализа с последующим обсуждением результатов в интерактивном режиме.

На практических занятиях №№ 1-26 Трудоемкость-22 часа

Реализация интерактивных технологий по дисциплине осуществляется на практических занятиях. Тематические тренинги построены на задачах, ситуациях, вопросах, обсуждениях проблем.

Методика проведения тренинга предусматривает наличие общей программы тренинга, подготовленной преподавателем, рабочего сценария тренинга, набора заданий и задач для отработки, набора раздаточных материалов. Вводная часть тренинга составляет не более 10 минут от всего времени занятия и предназначена для определения и разъяснения преподавателем конкретных условий модели тренинга.

План тренинга включает:

Подготовленные преподавателем варианты задания (не менее трех по каждой теме практического занятия) с четко определенной предметной областью работы и практической направленностью.
Отчетность студентов по выполнению задания.
Обзор проведенного тренинга.
Зачет по результатам тренинга. Цель зачета состоит в подтверждении усвоения знаний и навыков, полученных в ходе тренинга.

Задачи для тренинга:

Задача №1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий двух видов: сапог и ботинок. При этом используется сырье двух типов: и . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Пусть ежедневный объем выпуска сапог и ботинок составляет и соответственно, тогда математическая модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида обуви может иметь вид …

Варианты ответов:

Задача №2(продолжение задачи №1).

Установите соответствие между видом изделия и ежедневным объемом его выпуска.

1. Ежедневный объем выпуска сапог

2. Ежедневный объем выпуска ботинок

Варианты ответов:

1) 50

2) 200

3) 100

4) 150

5) 250

Задача №3 (продолжение задачи №1).

Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей-строкой Стоимость сырья, затраченного на производство сапог, составит _____ единиц.

Задача №4 .

Бивалютная корзина стоимостью 36,5 руб. на 55 % состоит из доллара, а на 45% из евро. Если бы она на 55 % состояла из евро, а на 45 % из доллара, то ее стоимость была бы равна 37,5 руб. Курс доллара равен _____ руб.

Задача №5.

Бивалютная корзина стоимостью 36,5 руб. на 55 % состоит из доллара, а на 45% из евро. Если бы она на 55 % состояла из евро, а на 45 % из доллара, то ее стоимость была бы равна 37,5 руб. Отношение курса евро к курсу доллара равно …

1)1,0274

2)1,2222

3)0,7619

4)1,3125

Задача №6.

Бивалютная корзина стоимостью 37,95 руб. на 55 % состоит из доллара, а на 45% из евро. Если бы она на 55 % состояла из евро, а на 45 % из доллара, то ее стоимость была бы равна 39,05 руб. Если курс доллара не изменится, а курс евро вырастет на 6%, то стоимость бивалютной корзины (в руб.) будет больше, чем …

1)39,25

2)39,50

3)38,75

4)39,00

Задача №6.

В городском парке, имеющем форму квадрата со стороной a, установлены две осветительные установки A и B, расположенные в противолежащих вершинах этого квадрата (см. рисунок).

Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в таких точках М, для которых выполняется условие: Через все такие точки проложили пешеходную дорожку. Все точки этой дорожки принадлежат некоторой …

12 Методические рекомендации (материалы) для преподавателя

а) Рекомендации к проведению лекционных занятий

Лекции являются одним из основных источников знаний по дисциплине. Они должны способствовать возникновению и поддержанию интереса к предмету, глубокому усвоению материала и активизации самостоятельной работы студентов.

Лекционный материал по дисциплине «Высшая алгебра» должен быть построен в соответствии с программой, рабочей учебной программой дисциплины. Преподаватель должен обладать высокими профессиональными качествами лектора, иметь профессиональный язык математика, быть специалистом в области высшей математики. Он обязан четко, на доступном для восприятия уровне излагать содержание курса; обеспечивать, в случае необходимости, возможность его конспектирования; проводить анализ основных понятий и терминов. Лектор должен уметь вызывать интерес студентов к изучению дисциплины, уметь устанавливать диалог со студентами во время лекции.

Каждая лекционная тема должна быть продумана по структуре изложения, соответствовать математической логике построения дисциплины, а также отвечать требованиям наглядности и доступности. Особое внимание следует уделить раскрытию основных понятий по модулям, которые формируют профессиональный язык студента в изучении данной дисциплины.

Важным моментом является сопровождение изложения лекционного материала практическими примерами, задачами, которые значительно способствуют усвоению материала и показывают практическую значимость изучаемых тем. Особое внимание необходимо обратить также на межпредметную связь, актуальность, прикладной характер изучаемых тем, перспективам применения полученных знаний на практике.

При подготовке курса следует обращаться, главным образом, к следующим видам литературы:

а) учебники и учебные пособия;

б) научная литература;

в) периодические, профессиональные издания;

г) тексты или конспекты лекций за прошлые годы;

д) другие материалы (документы обсуждения лекций на заседании кафедры, программы, рабочие планы, календарно-тематические планы лекций; календарно-тематические планы практических занятий, конспект лекций более опытного лектора и т.д.).

Лектор должен иметь свой взгляд на научное и педагогическое достоинство изложения одного и того же вопроса у разных авторов. Это окажет ему помощь в дискуссиях со студентами, более логичном, практически значимом построении курса. Лектору рекомендуется также следить за ведением конспектов лекций студентами.

Материал, используемый на занятиях (включая лекции, практические задания и проч.), должен быть подготовлен до начала семестра, в котором этот курс читается, при необходимости переработан или дополнен. Все изменения в методике и практике преподавания дисциплины и всей математики должны вовремя отслеживаться и находить свое отражение в лекционном материале.

б) Рекомендации к проведению практических занятий

Практические занятия по дисциплине «Высшая алгебра» выполняют значительную роль в изучении дисциплины. Практические занятия должны соответствовать учебной, рабочей учебной программе дисциплины, тематике лекционных занятий и тематике практических занятий.

Целью практических занятий является закрепление теоретических знаний, полученных в ходе прослушивания лекционного материала.

На первых же практических занятиях преподаватель должен ознакомить студентов с технологической картой по дисциплине, с системой оценки участия студентов на занятиях, выполнения контрольных работ, самостоятельных заданий, системой подхода к экзамену и оценки на экзамене, а также ознакомить со списком учебной и научной литературы.

Планы практических занятий состоят из отдельных тем (см. примерный план практических занятий).

Каждое практическое занятие по дисциплине включает следующие элементы:

· цель и план проведения занятия;

· теоретические вопросы, повторение основных понятий и формул, необходимых для усвоения темы занятия;

· закрепление теоретических знаний по теме при анализе и решении ключевых задач;

· задачи по теме для решения в аудитории и для самостоятельного решения и т.д.);

· задачи повышенной сложности, творческого характера, практического значения и т.д.

· список литературы по теме для подготовки к практическому занятию.

Преподавателю, ведущему практические занятия за лектором, рекомендуется использовать следующие основные формы записи на занятиях: тема и цель занятия, план (простой или развернутый), выписка основных формул по теме занятия из лекций или других учебных источников, алгоритмы решений ключевых задач, задачи для самостоятельной работы.

Преподаватель должен:

1. умело пользоваться лекционным материалом, учебной и научной литературой;

2. иметь профессиональный язык, владеть логикой построения и развития практического занятия;

3. продумать постановки таких вопросов по теме практического занятия и по ходу решения задач, которые вызовут интерес студентов;

4. уметь создавать и разрешать проблемные ситуации для активизации работы студентов на занятии;

5. адекватно оценивать работу каждого студента в конце занятия.

Важную роль играют консультации для студентов. С графиком проведения консультаций преподаватель должен ознакомить студентов в начале семестра.

Разъяснение является основным содержанием данной формы занятий, наиболее сложных вопросов изучаемого программного материала. Цель – максимальное приближение обучения к практическим интересам с учетом имеющейся информации и является результативным материалом закрепления знаний.

Групповая консультация проводится в следующих случаях:

1. когда необходимо подробно рассмотреть практические вопросы, которые были недостаточно освещены или совсем не освещены в процессе лекции;

2. с целью оказания помощи в самостоятельной работе (написание рефератов, выполнение курсовых работ, сдача экзаменов, подготовка конференций);

3. если студенты самостоятельно изучают нормативный, справочный материал, инструкции, положения.

Глоссарий

Алгебраическое ДОПОЛНЕНИЕ элемента . Число , где М_ij — МИНОР квадратной матрицы A.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат.

АППРОКСИМАЦИЯ. Приближённое выражение математических объектов через другие, более простые.

АСИМПТОТА. Прямая, расстояние от которой до точки данной кривой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки вдоль кривой на бесконечность.

БАЗИС. Множество элементов, порождающих все математические объекты заданного вида с помощью определённых операций.

БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА. Максимальная система линейно-независимых векторов в ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. (Т.е. система линейно-независимых векторов, при добавлении к которой любого вектора, она становится линейно-зависимой).

БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО программирования. Геометрически, базисные допустимые решения соответствуют вершинам (крайним точкам) выпуклого многогранника, который ограничивает множество допустимых решений. Если задача линейного программирования имеет оптимальные решения, то по крайней мере одно из них является базисным.

ВЕКТОР. 1. Направленный отрезок в евклидовом пространстве.

2. Элемент векторного (линейного) пространства.

п -мерный ВЕКТОР — упорядоченная совокупность n произвольных действительных (комплексных) чисел x = (x₁, x₂,…, x _n). Числа x _k называют компонентами вектора. Одномерный вектор — число, также называют скаляром. Произвольный вектор x размерности n может быть умножен на любое число (скаляр). Умножение вектора на число заключается в умножении на это число каждой его компоненты. Складываются векторы покомпонентно. Нулевым вектором называется вектор, все компоненты которого – нули.

Векторное пространство . См. Линейное пространство.

Верхняя треугольная МАТРИЦА. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю.

Вырожденная МАТРИЦА. Квадратная матрица, ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ которой равен нулю.

ВЫЧИСЛЕНИЕ. Получение численного результата некоторым алгоритмом из исходных данных.

Декартова (прямоугольная) система координат. Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси с одинаковым масштабом, имеющие общее начало. Любой точке М плоскости (пространства) соответствует единственная упорядоченная пара чисел (x, y) (тройка чисел (x, y, z)) — координаты точки, и обратно: паре (тройке) чисел — единственная точка на плоскости (в пространстве).

ДЕТЕРМИНАНТ. См. Определитель МАТРИЦЫ.

ДЛИНА ВЕКТОРА. См. МОДУЛЬ (НОРМА) ВЕКТОРА.

ДИАГОНАЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ. Совокупность элементов, лежащих на одной из диагоналей квадрата, образуемого этой матрицей.

ДИАГОНАЛЬ матрицы главная. Совокупность элементов матрицы, у которых совпадают номера строки и столбца.

ДИАГОНАЛЬ матрицы побочная. Совокупность элементов матрицы, у которых сумма индексов на единицу больше порядка матрицы.

Диагональная МАТРИЦА. Квадратная матрица, все элементы которой лежащие вне главной диагонали, равны нулю.

ДОПУСТИМОЕ РЕШЕНИЕ. В математическом программировании — точка («решение»), удовлетворяющая всем ограничением.

Единичная МАТРИЦА. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице. Обозначается обычно E или I.

ЖОРДАНА-ГАУССА МЕТОД. Модификация МЕТОДА ГАУССА.

задачА линейного программирования (общая). Задача о нахождении экстремума линейной функции многих переменных на множестве, заданном линейными ограничениями – равенствами и неравенствами.

КаНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА задачи линейного программирования. Форма, при которой все нетривиальные линейные ограничения в задаче линейного программирования имеют вид равенств , j=1,2,..,m, а ограничения–неравенства форму _.

КвадратИЧНАЯ ФОРМА. Выражение - форма второй степени от переменных x₁, x₂,…, x _n.

Квадратная МАТРИЦА. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

Лемма (греч. слово lemma – «допущение»). Вспомогательное предложение, употребляемое при доказательствах других утверждений.

Линейная алгебра, наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к Л. а., была теория СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Развитие последней привело к созданию теории ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ, а затем теории МАТРИЦ и связанной с ней теории в ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ и ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ в них. В Л. а. входит также теория форм, в частности КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.

Линейная ЗАВИСИМОСТЬ векторов. Вектора x₁, x₂,…,x_n называются линейно-зависимыми, если существует их линейная комбинация равная нулю, не все коэффициенты которой равны нулю.

Линейная комбинация векторов. Вектор y = x₁λ₁+ x₂λ₂ +…+ x_nλ _n, где x_i — вектора из линейного пространства X, а λ_i — скаляры называется линейной комбинацией векторов x₁, x₂,…,x_n , а λ₁, λ₂ ,…, λ_n — коэффициентами линейной комбинации.

Линейная НЕЗАВИСИМОСТЬ векторов. Вектора x₁, x₂,…,x_n называются линейно-независимыми, если отлична от нуля любая их линейная комбинация, не все коэффициенты которой равны нулю.

Линейное (векторное) пространство. Множество векторов с заданными на нем операциями сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющих стандартным свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и существования нулевого вектора.

Линейное отображение (ПРЕОБРАЗОВАНИЕ). Отображение A векторного пространства X в (на) векторное пространство Y, удовлетворяющее свойству линейности: A(x₁λ₁+ x₂λ₂) = λ₁A(x₁) + λ₂A(x₂), где x₁, x₂— любые вектора из X, а λ₁, λ₂— произвольные скаляры. Каждая матрица A размерности m× n порождает линейное преобразование y = Ax из n-мерного векторного пространства в m-мерное.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств; Л. п. является одним из разделов математического программирования

МАТРИЦА. Совокупность m×n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов. Пара чисел m и n называется размерностью матрицы. Обозначается двойными линейками, круглыми или квадратными скобками, охватывающими таблицу слева и справа. Элементы матрицы обозначаются как где i=1,2,…, m — номера строк, j=1,2,…, n – номера столбцов.

МАТРИЦА-СТОЛБЕЦ. Матрица, состоящая из одного столбца, имеющая размерность n ´ 1.

МАТРИЦА-СТРОКА. Матрица, состоящая из одной строки, имеющая размерность 1´ n.

МАТРИЦА ГЕССЕ. Квадратная матрица с элементами с элементами , где f (x₁,..., x_n), l £ i £ n, — функция n переменных. имеющие вторые частные производные в некоторой области Δ. Используется обозначение .

Матричная запись системы линейных уравнений. Запись СИСТЕМЫ m Линейных УРАВНЕНИЙ на n неизвестных в виде Ax = b, где A — матрица коэффициентов, размерности m × n , x — вектор-столбец неизвестных, размерности n × 1, b — вектор-столбец свободных членов, размерности m × 1,системы линейных уравнений.

МЕТОД ГАУССА. Семейство вычислительных методов линейной алгебры, служащих для решения линейных систем, вычисления обратных матриц, определителей, нахождения ранга и др. Основан на последовательном преобразовании матриц, с приведением их в итоге, к максимально простой (обычно – диагональной или треугольной) форме.

МЕТОД (ПРАВИЛО) КРАМЕРА. Система n линейных с n неизвестными х₁…, х _n; имеет при условии невырожденности матрицы коэффициентов системы A единственное решении, которое определяется формулами x_i= D_i/D, где D -определитель матрицы A (D ≠ 0), D_i определитель получаемый из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

МИНОР. Определитель, получающийся из исходного определителя вычёркиванием i-ой строки j-го столбца. Обозначается .

МОДУЛЬ ВЕКТОРА. Величина |x| = |(x₁, x₂,…, x _n)|= . Это так называемая Евклидова НОРМА. Другие примеры см. в НОРМА.

Неособенная МАТРИЦА. см. Невырожденная матрица.

Невырожденная МАТРИЦА. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля

нижняя треугольная МАТРИЦА. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю.

НОРМА. Числовая неотрицательная характеристика элементов векторных пространств. В случае ВЕКТОРОВ используется также термин ДЛИНА.

1. Примеры норм n-мерного для вектора x = (x₁, x₂,…, x _n):

||x|| = . Так называемая Евклидова (или l²) норма, применяемая чаще всего.

||x|| = |x₁|+|x₂|+…+|x _n|. Так называемая l¹-норма.

||x|| = max(|x₁|,|x₂|,…|x _n|). Так называемая l^¥-норма.

2. Норма матрицы A — это величина ||A|| = .

Обратная МАТРИЦА. Матрица, которая при умножении справа или слева на данную квадратную матрицу A, даёт единичную матрицу. Обозначается A^-1.

Однородное уравнение, уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех (или только некоторых) неизвестных на одно и то же произвольное число. Во втором случае уравнение называется однородным по отношению к соответствующим неизвестным.

Система линейных уравнений Ax = 0 называется однородной, т.к. она однородна по отношению к x.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ матрицы. Число, полученное из элементов квадратной матрицы по определенным правилам. Обозначается det(A), , D(A).

ОСЬ АБСЦИСС. Первая из осей декартовой системы на плоскости или в пространстве.

ОСЬ ОРДИНАТ. Вторая из осей декартовой системы координат на плоскости или в пространстве.

ОСЬ АППЛИКАТ. Третья из осей декартовой системы координат в пространстве

особая МАТРИЦА. см. вырожденная МАТРИЦА.

ОРТ. Единичный ВЕКТОР.

ПОРЯДОК квадратной матрицы. Число строк (столбцов) квадратной матрицы.

ПОРЯДОК определителя. Число строк (столбцов) определителя.

ПРАВИЛО КРАМЕРА. См. МЕТОД КРАМЕРА.

РАНГ матрицы. Число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Равно наивысшему порядку минора матрицы, отличному от нуля.

расширеннАЯ матрицА системы линейных уравнений. Матрица, образуемая из матрицы А в МатричнОЙ записИ системы линейных уравнениЙ добавлением вектора-столбца свободных членов b..

симметрическая (симметричная) МАТРИЦА. Квадратная матрица, в которой любые два элемента, расположенные симметрично, относительно главной диагонали, равны между собой. (Совпадает со своей транспонированной, элементы симметрической матрицы удовлетворяют условию ).

СИСТЕМА КООРДИНАТ. Способ установки взаимно однозначного соответствие между множествами (подмножествами) чисел (наборов чисел) и точками данного геометрического пространства. Простейшая из них — ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, пример более сложной — Полярная система координат.

СИСТЕМА Линейных УРАВНЕНИЙ. Так называется набор m уравнений вида: a _1j x ₁ + a₂_j x₂ + ... + a_njx_n = b _j , j=1,2,.., m. Числа a _ij— коэффициенты при неизвестных; x_i — неизвестные; b _j — свободные члены. См. также Матричная запись системы линейных уравнений. Система линейных уравнений называется совместной или разрешимой, если она имеет хотя бы одно решение. Если система вообще не имеет решений, она называется несовместной или неразрешимой. В случае если система совместна, то она называется определенной, тогда когда решение ее единственно, и неопределенной, в противном случае.

СКАЛЯРНОЕ (ВНУТРЕННЕЕ) произведение векторов. Для двух векторов x = (x₁, x₂,…, x _n) и y = (y₁, y₂,…, y_n) так называют число (скаляр) x y = x₁ y₁+ x₂y₂+…+ x _n y_n . Альтернативная формула x y = |x||y|cos φ, где |x| и |y| — ДЛИНЫ ВЕКТОРОВ x,y, а φ — УГОЛ МЕЖДУ этими ВЕКТОРАМИ.

СЛЕД МАТРИЦЫ. Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы А; обозначается Sp(A) или tr(A).

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР. Вектор , являющийся решением уравнения Ax = λx, где A — квадратная матрица, λ — скаляр.

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Число λ из определения СОБственного вектора. Удовлетворяет алгебраическому ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ . Это уравнение имеет порядок, равный порядку матрицы A.

транспонированная МАТРИЦА. Матрица, у которой по отношению к данной матрице A взаимно переставлены местами столбцы и строки. Обычное обозначение A^T или A'.

треугольная МАТРИЦА. Верхняя или нижняя треугольная матрица. (Матрица, все элементы которой под или над главной диагональю равны нулю).

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ. Угол φ между n-мерными ВЕКТОРАМИ x,y определяется равенством cos φ = x y/|x||y|, где |x| и |y| — ДЛИНЫ векторов x,y, а x y — их СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

Уравнение линии. На плоскости — это уравнение вида F(x, y) = 0. Точка М(x, y) тогда и только тогда принадлежит линии, когда её координаты x, y удовлетворяют этому уравнению.

Линия в пространстве — пересечение двух поверхностей, т. е. уравнение линии можно записать в виде системы уравнений двух поверхностей: F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0.

Уравнение поверхности. Уравнение вида F(x, y, z) = 0. Точка М(x, y, z) тогда и только тогда принадлежит поверхности, когда её координаты x, y, z удовлетворяют уравнению.

Характеристическое уравнение. Для матрицы A — алгебраическое уравнение на величину λ вида det(A- λE)=0. См. СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

14 Тематический план учебной дисциплины по заочной форме обучения

Полная форма обучения

Объем дисциплины и виды учебной работы.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц 216 часов.

Аудиторных – 18 ч.

Самостоятельная работа (СРС) – 187 ч.

Контроль самостоятельной работы (КСР) – 2 ч.

Форма промежуточной аттестации: экзамен – 1 семестр.

П/п

Раздел дисциплины

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость

(в часах)

Дата: 2019-02-24, просмотров: 207.

⇐ Предыдущая 12