При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора , где R_КР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:

p_1,2 = -α ± jω,

где α = R / (2L) – коэффициент затухания свободной составляющей;
– угловая частота собственных колебаний контура;
Т₀ – период собственных колебаний.

Поскольку , то можно ввести обозначения

, , .

Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях (см. п.п. 5.2.1)

u_Cсв = A e^-αt sin(ω₀t + ψ),

Для свободной составляющей тока имеем

i_св = C A e^-αt (-α sin(ω₀t + ψ) + ω₀ cos(ω₀t + ψ)).

С учетом начальных условий при t = 0, u_C = U₀ , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования:

U₀ = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω₀ cos ψ).

и далее

.

Запишем переходные напряжения и ток:

u_C = U_Cm e^-αt sin(ω₀t + ψ);
i = -I_m e^-αt sin(ω₀t + π);
u_L= U_Lm e^-αt sin(ω₀t - ψ),

где ; .

Рис. 5.15

Зависимости переходных напряжения и тока u_C, i показаны на рис. 5.15. Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания - это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т₀, например:

.

Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:

.

В предельном случае чисто консервативной системы (R = 0) Δ = 1 колебания в параллельно соединенных конденсаторе и катушке носят незатухающий характер. Период этих колебаний дается формулой Томпсона , а частота незатухающих колебаний .

Включение контура из конденсатора, резистора, катушки на постоянное напряжение

Рис. 5.16

Рассмотрим электромагнитные процессы, возникающие после замыкания ключа в цепи, изображенной на рис. 5.16 в предположении, что конденсатор был предварительно не заряжен, т.е. u_C(0_-) = 0. Характеристическое уравнение и вид его корней будут такими же, как и в цепи, рассмотренной в п. 5.6.

Апериодический процесс

Между разрядом конденсатора на резистор с катушкой и включением на постоянное напряжение контура (см. рис. 5.16) существует аналогия. Так же, как при разряде конденсатора, установившаяся составляющая тока равна нулю. Установившееся напряжение на конденсаторе u_Cу = U. Следовательно, начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе

Рис. 5.17

u_Cсв(0₊) = u_C(0₊) - u_Cу(0_-)

равно u_Cсв(0₊) = -U. То есть знаки постоянных интегрирования А₁ и А₂ в отличие от рассмотренного в п. 5.6 случая изменяются на противоположные. В этом случае переходное напряжение на конденсаторе, ток и напряжение на катушке определяются по формулам:

;
; .

Кривые u_C(t), u_L(t) и i(t) приведены на рис. 5.17.

Колебательный процесс

Включение рассматриваемого контура на постоянное напряжение может сопровождаться колебательным переходным процессом. При этом в отличие от процесса разряда конденсатора (см. п. 5.6) знак начального значения преходящего напряжения, следовательно, и коэффициента А, изменится на противоположный. Переходные напряжения и ток приобретут вид:

Рис. 5.18

;
;
.

Кривые u_C(t) и i(t) показаны на рис. 5.18. Кривая тока отображает затухающие колебания относительно нулевого значения, а напряжения на конденсаторе – относительно установившегося значения. Следует отметить, что за время переходного процесса контура часть энергии источника переходит в тепло, а другая часть запасается в электрическом поле конденсатора в виде:

т.е. .