Приступая к изучению физики, необходимо уяснить, что физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. Она исследует наиболее общие формы движения материи и их взаимные превращения. Движение есть форма существования материи. Физические понятия являются простейшими и в то же время основополагающими и всеобщими в естествознании (пространство, время, движение, масса, работа, энергия и др.).
Изучать основы классической механики надо исходя из представлений современной физики, в которой основные понятия классической механики не утратили своего значения, а получили дальнейшее развитие, обобщение и критическую оценку с точки зрения их применения. Следует помнить, что механика – это наука о простейших формах движения материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда существует в пространстве и во времени. Диалектический материализм учит, что пространство, поле и время являются основными формами существования материи. Предметом классической механики является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в теории относительности, а движение микрочастиц изучается в квантовой механике.
В контрольную работу № 1 включены задачи, дающие возможность проверить знания студентов по ключевым вопросам классической механики и элементам специальной теории относительности. Решая задачи по кинематике, в которых необходимо использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени, а так же решать обратные задачи.
Задачи на динамику материальной точки и поступательное движение твердого тела охватывают такие вопросы, как закон движения центра масс механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл, связь кинетической энергии механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон сохранения механической энергии. Тщательного изучения и понимания требуют вопросы о поле как форме материи, осуществляющей взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной энергии механической системы.
В задачах на кинематику и динамику вращательного движения твердого тела главное внимание уделялось изучению соотношений между линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента инерции тела, законов сохранения количества движения, момента количества движения и механической энергии.
В контрольную работу включены задачи по элементам специальной теории относительности, которые охватывают следующие вопросы: относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границы применимости и что они получаются как следствие теории относительности.
Изучая физические основы молекулярной физики и термодинамики, студенты должны уяснить, что существуют два качественно различных и взаимодополняющих метода исследования физических свойств макроскопических систем – статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Молекулярно-кинетический метод исследования лежит в основе молекулярной физики, термодинамический – в основе термодинамики. Молекулярно-кинетическая теория позволяет с единой точки зрения рассмотреть различные явления во всех состояниях вещества, вскрыть их физическую сущность и теоретическим путем вывести многочисленные закономерности, открытые экспериментально и имеющие большое практическое значение.
При изучении молекулярно-кинетической теории следует уяснить, что свойства огромной совокупности молекул отличны от свойств каждой отдельной молекулы и свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и средними значениями кинематических характеристик частиц, т. е. их скоростей, энергий т. д.
В отличие от молекулярно-кинетической теории, термодинамика не изучает конкретно молекулярные взаимодействия, происходящие с отдельными атомами или молекулами, а рассматривает взаимопревращения и связь различных видов энергии, теплоты и работы. Термодинамика базируется на опытных законах (началах), которые позволяют описывать физические явления, связанные с превращением энергии макроскопическим путем.
При изучении основ термодинамики студент должен четко усвоить такие понятия, как термодинамическая система, термодинамические параметры (параметры состояния), равновесное состояние, уравнение состояния, термодинамический процесс, внутренняя энергия, энтропия и т. д.
Задачи контрольной работы дают возможность проверить знания студентов по основным вопросам молекулярной физики и термодинамики.
В задачах на тему «Основы молекулярно-кинетической теории» внимание уделено таким вопросам программы, как уравнение Клайперона-Менделеева, уравнение молекулярно-кинетической теории, средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, средняя длина свободного пробега и среднее число соударений, явления переноса.
Задачи по теме «Основы термодинамики» охватывают такие важные соотношения и понятия, как первое начало термодинамики, внутренняя энергия, работа при различных изопроцессах и адиабатном процессе. Включены также задачи, которые позволяют проверить понимание второго начала термодинамики, понятие энтропия идеального газа, являющегося, в отличие от количества теплоты функцией состояния. Задачи в контрольной работе расположены приблизительно в том порядке, в каком соответствующие вопросы рассматриваются в рабочей программе.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
МЕХАНИКА
Мгновенная скорость: 
,
где 
– радиус-вектор материальной точки, t – время.
Ускорение:
тангенциальное: 
,
нормальное: 
,
полное: 
,
где R – радиус кривизны траектории, 
– единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны траектории.
Угловая скорость: 
,
где 
- угловое перемещение.
Ускорение угловое: 
.
Связь между линейными и угловыми величинами: 
Импульс (количество движения) материальной точки: 
,
где m – масса материальной точки.
Основное уравнение динамики материальной точки (II закон Ньютона):
Закон сохранения импульса для изолированной системы: 
.
Радиус-вектор центра масс: 
.
Скорости частиц после столкновения:
Сила сухого трения: 
,
где f – коэффициент трения, 
– сила нормального давления.
Сила упругости: 
,
где k – коэффициент упругости (жесткость), 
– деформация.
Сила гравитационного взаимодействия: 
,
где m 1 и m 2 – массы частиц, g – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами.
Работа силы: 
.
Мощность: 
.
Потенциальная энергия:
упругодеформированного тела: 
,
гравитационного взаимодействия двух частиц: 
,
тела в однородном гравитационном поле: 
,
где g – ускорение свободного падения, h – расстояние от нулевого уровня.
Потенциал гравитационного поля Земли: 
,
где M 3 – масса Земли, R 3 – радиус Земли, h – расстояние от поверхности Земли.
Напряженность гравитационного поля Земли: 
.
Кинетическая энергия материальной точки: 
.
Закон сохранения механической энергии: 
.
Момент инерции материальной точки: 
,
момент инерции абсолютно твердого тела: 
,
где r – расстояние до оси вращения.
Моменты инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:
тонкостенного цилиндра, кольца радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра: 
,
сплошного цилиндра, диска радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра: 
,
шара радиуса R: 
,
тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню: 
.
Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси (теорема Штейнера): 
,
где Jo – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, d – расстояние между осями.
Момент силы: 
,
где 
– радиус-вектор точки приложения силы.
Момент импульса: 
.
Основное уравнение динамики вращательного движения: 
.
Закон сохранения момента импульса для изолированной системы: 
.
Работа при вращательном движении: 
.
Кинетическая энергия вращающегося тела: 
.
Релятивистское изменение длины: 
,
где l 0 – длина покоящегося тела, с – скорость света в вакууме.
Релятивистское замедление времени: 
,
где t 0 – собственное время.
Релятивистская масса: 
,
где m 0 – масса покоя.
Энергия покоя частицы: 
.
Полная энергия релятивистской частицы: 
.
Релятивистский импульс: 
.
Кинетическая энергия релятивистской частицы: 
.
Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом: 
.
Теорема сложения скоростей в релятивистской механике: 
,
где u и 
– скорости в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью 
, совпадающей по направлению с u (знак «-») или противоположно ей направленной (знак «+»).
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Количество вещества: 
,
где N – число молекул, NA – постоянная Авогадро, m – масса вещества, m – молярная масса.
Уравнение Клайперона-Менделеева: 
,
где P – давление газа, V – его объем, R – малярная газовая постоянная, T – абсолютная температура.
Уравнение молекулярно-кинетической теории газа: 
,
где n – концентрация молекул, 
– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m 0 – масса молекулы, 
– средняя квадратичная скорость.
Средняя энергия молекулы: 
,
где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
Внутренняя энергия идеального газа: 
.
Скорости молекул:
средняя квадратичная: 
,
средняя арифметическая: 
,
наиболее вероятная: 
.
Средняя длина свободного пробега молекулы: 
,
где d – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:
.
Распределение молекул в потенциальном поле сил: 
,
где П – потенциальная энергия молекулы.
Барометрическая формула: 
.
Уравнение диффузии: 
,
где D – коэффициент диффузии, r – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к направлению вдоль которого происходит диффузия.
Уравнение теплопроводности: 
, æ 
,
где æ – теплопроводность.
Сила внутреннего трения: 
,
где h – динамическая вязкость.
Коэффициент диффузии: 
.
Вязкость (динамическая): 
.
Теплопроводность: æ 
,
где СV – удельная изохорная теплоемкость.
Молярная теплоемкость идеального газа:
изохорная: 
,
изобарная: 
.
Первое начало термодинамики: 
Работа расширения газа при процессе:
изобарном: 
,
изотермическом: 
,
изохорном: 
адиабатном: 
,
где 
.
Уравнения Пуассона: 
Коэффициент полезного действия цикла Карно: 
,
где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q 0 и Т0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.
Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2: 
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6 t 3 + 3 t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.
Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: 
, 
. Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: 
, 
. Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: 
, где 
, согласно условию задачи, ускорение в конце второй секунды. Тогда 
, 
Н.
Ответ: 
, 
, Н.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью на 20% меньше скорости света. Какой покажется наблюдателю его длина?
Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: 
, где l 0 – длина покоящегося стержня; 
– скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу для l 0 числовые значения, имеем: l = 0,6 м.
Ответ: l = 0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) = 0,5с и u = 0,75с; 2) 
= с и u = 0,75с. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.
Решение. Согласно теореме о сложении скоростей тел, движущихся навстречу друг другу, в теории относительности: 
, где , u – скорости соответственно первого и второго тел; – их относительная скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:
Это подтверждает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: 
= 0,91с; 
= с.
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:
. (1)
Здесь 
и 
– скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол 
ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: 
. Следовательно: 
. Из геометрических построений следует: 
, поэтому:
. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
. (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:
, (4)
где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим 
, или с учетом (3) 
и подставив числовые данные получим h = 0,044 м. При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:
. Используя уравнения (2) и (3), получаем: 
, 
Дж.
Ответ: h = 0,044 м, D E Д = 1,3 Дж.
5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие–наковальня считать замкнутой.
Решение. По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:
, (1)
где 
– скорость молота в конце падения с высоты h; 
– общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:
. (2)
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: 
. Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид 
, откуда:
. (3)
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим: 
, 
Дж.
Ответ: 
Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2 t 2 +4t+1. Определить работу силы за 10 сек от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:
. (1)
Сила, действующая на тело, из II закона Ньютона равна: 
или 
(мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени). В соответствии с этим находим:
, (2), 
, (3)
. (4)
Из выражения (2) определим ds:
(5)
Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получим: 
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 сек от начала ее действия: 
, А = 960 Дж. Кинетическая энергия определяется по формуле:
. (6)
Подставляя (2) в (6), имеем: 
.
Ответ: А = 960 Дж, Т = m (8 t 2 +16 t +8).
7. Протон движется со скоростью 0,7с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.
Решение. Количество движения протона определяется по формуле:
. (1)
Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:
, (2)
где m – масса движущегося протона; m 0 =1,67×10-27 кг – масса покоя протона; v – скорость движения протона; c = 3×108 м/с – скорость света в вакууме; v / c = b – скорость протона, выраженная в долях скорости света. Подставляя уравнение (2) в (1) получаем: 
, 
кг×м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой частицы:
. (3)
Ответ: p = 4,91×10-19 кг×м/с, Т = 0,6×10-10 Дж.
8. Тонкий стержень вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. В процессе вращения в той же плоскости стержень перемещается так, что ось вращения проходит через его конец. Найти угловую скорость после перемещения.
Решение. Используем закон сохранения момента импульса: 
, где Ji, – момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с законом сохранения момента импульса запишем:
. (1)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
. (2)
По теореме Штейнера: 
где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
. (3)
Подставляя, формулы (2) и (3) в (1), имеем: 
, откуда 
.
Ответ: w 2 = 2,5 c-1.
9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:
, (1)
где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; 
– изменение угловой скорости за промежуток времени 
. По условию, 
, где 
– начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость 
= 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда 
и 
Момент инерции маховика 
, где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид: 
откуда М = -1,61 Н×м. Знак «-» говорит о том, что момент томозящий.
Угол поворота (т. е. угловой путь 
) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
, (2)
где 
– угловое ускорение. По условию, 
, 
, 
. Тогда выражение (2) можно записать так: 
. Так как j = 2 p N, w 0 = 2 p n, то число полных оборотов маховика: 
.
Ответ: М = 1,61 Н×м, N = 180.
10. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева, применив его к гелию и водороду:
, (1)
, (2)
где P 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия; 
– его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; P 2 - парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; 
– его молярная масса. Под парциальным давлением P 1 и P 2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он находился в сосуде один. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:
. (3)
Из уравнения (1) и (2) выразим P 1 и P 2 и подставим в уравнение (3). Имеем:
. (4)
Молярную массу смеси газов найдем по формуле: 
, где v 1 и v2 – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам: 
и 
. Тогда: 
. Подставляя числовые значения получаем: P = 2493 КПа и 
= 3×10-3 кг/моль.
Ответ: P = 2493 КПа, 
=3×10-3 кг/моль.
11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?
Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5, три из которых поступательные и две вращательные. В среднем на одну степень свободы приходится энергия 
, где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Для одной молекулы: 
и 
. Число молекул, содержащихся в массе газа: 
. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул двух килограмм водорода: 
. Средняя кинетическая энергия вращательного движения этих же молекул: 
. Подставляя числовые значения имеем: 
=4986 КДж и 
=2324 КДж.
Ответ: 
=4986 КДж, 
=2324 КДж.
12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 0С и давлении 100 кПа.
Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле: 
, где d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения: 
, где k – постоянная Больцмана. Таким образом, имеем: 
. Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно: 
, где N – число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10-3 м3; <Z> – среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде: 
. Среднее число соударений молекулы за 1 с равно: 
, где <V> – средняя арифметическая скорость молекулы. Тогда выражение для Z перепишется как: 
. Подставляя числовые значения, получим: Z = 9×1028 с-1, 
= 3,56×108 м.
Ответ: Z = 9×1028 с-1, = 3,56×108 м.
13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 105 Па.
Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле: 
, где <V> – средняя арифметическая скорость молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения 
воспользуемся формулой из решения примера 12: 
. Выражение для коэффициента диффузии примет вид: 
. Коэффициент внутреннего трения: 
, где r – плотность газа при температуре 300 К и давлении 105 Па. Для нахождения r воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях Т0=273 К, P=1,01×105 Па и в условиях задачи: 
и 
. Учитывая, что 
и 
, имеем: 
. Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии: 
. Подставляя числовые значения, получим: D = 4,7×105 м2/с и h = 5,23×10-5 кг/(м×с).
Ответ: D = 4,7×105 м2/с и h = 5,23×10-5 кг/(м×с).
14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении: 
. Здесь ср и Ср – удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; m =32×10-3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов: 
, 
Дж/(моль×К). Изменение внутренней энергии газа находим по формуле: 
, где С V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов: С V = = 5/2×R; С V = 20,8 Дж/(моль×К). Работа расширения газа при изобарном процессе: 
, где 
– изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона–Менделеева. При изобарном процессе: 
и 
. Почленным вычитанием выражений находим: 
, следовательно: 
. Подставляя числовые значения, получаем: 
Дж, 
Дж, 
Дж.
Ответ: 
Дж, 
Дж, 
Дж.
15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.
Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии 
и на внешнюю механическую работу А: 
. Величину 
системы можно определить, зная массу газа, удельную теплоемкость при постоянном объеме с V и изменение температуры 
: 
. Однако удобнее изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С V, которая может быть выражена через число степеней свободы: 
. Подставляя величину С V получаем: 
. Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии . Найти для аргона по полученной формуле нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование этой формулы. Запишем уравнение Клайперона-Менделеева для начального и конечного состояний газа: 
и 
, или 
. Тогда: 
. Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении. При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Первое начало термодинамики запишется в виде: 
. Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ): 
. Формула работы для адиабатного процесса имеет вид: 
, где g – показатель адиабаты, равный: 
. Для аргона – одноатомного газа (i= 3) – имеем g =1,67. Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона: 
. Для определения работы расширения аргона формулу для следует преобразовать, учитывая параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона-Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии: 
. Подставляя числовые значения, имеем: а) при изобарном расширении 
Дж; б) при адиабатном расширении 
Дж.
Ответ: а) =121 Дж; б) = -44,6 Дж.
16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.
Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле: 
или 
. Из этих выражений находим: 
. Произведем вычисления: A = 335 Дж. Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины равна 335 Вт.
Ответ: 
= 0,2, N =335 Вт.
17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.
Решение. Пусть температура горячей воды Т1, холодной Т2, а температура смеси 
. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса: 
или 
, откуда: 
. Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды: 
. Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды: 
. Изменение энтропии системы равно: 
или 
; так как 
и 4T1T2>0, то 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
101. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону х = 10 + 5 t - - 10 t 2? Масса тела 2 кг.
102. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 10 Н, если в момент t = 0 тело покоилось в начале координат (х = 0).
103. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 1 Н, если в момент t = 0 начальная координата х = 0 и v 0 = 5 м/с.
104. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 2 Н, если в момент t = 0 имеем х0 = 1 м и v 0 =2 м/с.
105. Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону а = 5 t -10. Определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.
106. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением 
. В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.
107. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением 
. Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в конце пятой секунды.
108. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением 
. Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.
109. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению 
. Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 3 с.
110. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью 5 c-1 и угловым ускорением 1 рад/с2. Сколько оборотов сделает тело за 10 с?
111. Параллелепипед размером 2x2x4 см3 движется параллельно большему ребру. При какой скорости движения он будет казаться кубом.
112. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза?
113. π-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его 2,6×10-8 с. Какое расстояние пролетит π-мезон до распада, если он движется со скоростью 0,9с?
114. Найти собственное время жизни нестабильной частицы -мезона, движущегося со скоростью 0,99с, если расстояние, пролетаемое им до распада, равно 0,1 км.
115. Собственное время жизни π-мезона 2,6×10-8 с. Чему равно время жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью 0,8с?
116. Электрон, скорость которого 0,9с, движется навстречу протону, имеющему скорость 0,8с. Определить скорость их относительного движения.
117. Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,8с, выбросило в направлении своего движения 
-частицу со скоростью 0,7с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.
118. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростью 0,8с. Определить скорость их относительного движения.
119. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%.
120. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились на 75%.
121. Сплошной цилиндр массой 0,1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время до его остановки, если на него действует сила трения 0,1 Н.
122. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.
123. Полый цилиндр массой 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 2 м.
124. Маховик, имеющий форму диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м, был раскручен до частоты 120 мин-1. Под действием силы трения диск остановился через 10с. Найти момент сил трения, считая его постоянным.
125. Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь.
126. С покоящимся шаром массой 2 кг сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью 1 м/с. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации при прямом центральном неупругом ударе.
127. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 500 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию 1,5×106 Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?
128. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 2 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02.
129. Молекула водорода, двигающаяся со скоростью 400 м/с, подлетает к стенке сосуда под углом 60° и упруго ударяется о нее. Определить импульс, полученный стенкой. Принять массу молекул равной 3×10-27 кг.
130. Стальной шарик массой 50 г упал с высоты 1 м на большую плиту, передав ей импульс силы, равный 0,27 Н×с. Определить количество теплоты выделевшуюся при ударе и высоту, на которую поднимается шарик.
131. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.
132. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Какова скорость этой частицы?
133. Масса движущегося протона 2,5×10-27 кг. Найти скорость и кинетическую энергию протона.
134. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов в 200 МВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Чему равна скорость протона?
135. Определить скорость электрона, если его релятивистская масса в три раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергию электрона.
136. Вычислить скорость, кинетическую и полную энергию протона в тот момент, когда его масса равна массе покоя 
-частицы.
137. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью, равной 0,7с.
138. Протон и 
-частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса протона составила половину массы покоя 
-частицы. Определить разность потенциалов.
139. Найти импульс, полную и кинетическую энергию нейтрона, движущегося со скоростью 0,6с.
140. Во сколько раз масса движущегося дейтрона больше массы движущегося электрона, если их скорости соответственно равны 0,6с и 0,9с. Чему равны их кинетические энергии.
141. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,20 г водорода при температуре 27 °С.
142. Давление идеального газа 10 мПа, концентрация молекул 8×1010
см-3. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.
143. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы аргона и водяного пара при температуре 500 К.
144. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 15×10-21 Дж. Концентрация молекул равна 9×1019 см-3. Определить давление газа.
145. В баллоне емкостью 50 л находится сжатый водород при 27 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 105 Па. Определить массу выпущенного водорода. Процесс считать изотермическим.
146. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,1 м, находится 56 г азота. До какой температуры можно нагреть газ, если стенки сосуда выдерживают давление 5·105 Па?
147. При температуре 300 К и давлении 1,2×105 Па плотность смеси водорода и азота 1 кг/м3. Определить молярную массу смеси.
148. В баллоне емкостью 0,8 м3 находится 2 кг водорода и 2,9 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 27 °С.
149. До какой температуры можно нагреть запаянный сосуд, содержащий 36 г воды, чтобы он не разорвался, если известно, что стенки сосуда выдерживают давление 5×106 Па. Объем сосуда 0,5 л.
150. При температуре 27 °С и давлении 106 Па плотность смеси кислорода и азота 15 г/дм3. Определить молярную массу смеси.
151. В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 100 К.
152. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 400 К и давлении 1,38 Па.
153. В сосуде емкостью 1 л находится 4,4 г углекислого газа. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.
154. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении 1·106 Па и температуре 27 °С.
155. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре 400 К.
156. В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г аргона. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 400 К.
157. Определить коэффициент внутреннего трения воздуха при температуре 100 К.
158. Определить коэффициент диффузии азота при давлении 0,5×105 Па и температуре 127 °С.
159. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях 1,9×10-4 кг/м×с. Определить коэффициент теплопроводности кислорода.
160. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях
9,1×10-5 м2/с. Определить коэффициент теплопроводности водорода.
161. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить аргону массой 400 г, чтобы нагреть его на 100 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.
162. Во сколько раз увеличится объем 2 молей кислорода при изотермическом расширении при температуре 300 К, если при этом газу сообщили 4 кДж теплоты.
163. Какое количество теплоты нужно сообщить 2 молям воздуха, чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе.
164. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном расширении 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная температура азота 27 °С.
165. Кислород, занимающий объем 10 л и находящийся под давлением 2·105 Па, адиабатно сжат до объема 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии кислорода.
166. Определить количество теплоты, сообщенное 88 г углекислого газа, если он был изобарически нагрет от 300 К до 350 К. Какую работу при этом может совершить газ и как изменится его внутренняя энергия?
167. При каком процессе выгоднее производить расширение воздуха: изобарическом или изотермическом, если объем увеличивается в пять раз. Начальная температура газа в обоих случаях одинаковая.
168. При каком процессе выгоднее производить нагревание 2 молей аргона на 100 К: а) изобарическом; б) изохорическом.
169. Азоту массой 20 г при изобарическом нагревании сообщили 3116 Дж теплоты. Как изменилась температура и внутренняя энергия газа.
170. При изотермическом расширении одного моля водорода была затрачена теплота 4 кДж, при этом объем водорода увеличился в пять раз. При какой температуре протекает процесс? Чему равно изменение внутренней энергии газа, какую работу совершает газ?
171. Определить изменение энтропии 14 г азота при изобарном нагревании его от 27 °С до 127 °С.
172. Как изменится энтропия 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличивается в четыре раза.
173. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 25% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 400 К.
174. Тепловая машина работает по циклу Карно, к.п.д. которого 0,4. Каков будет к.п.д. этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?
175. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, к.п.д. которого 40%. Каков будет к.п.д. этой машины, если она работает по прямому циклу Карно.
176. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 1000 Дж. Температура нагревателя 500 К, температура холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.
177. Найти изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 0 до 100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.
178. Найти изменение энтропии при плавлении 2 кг свинца и дальнейшем его охлаждении от 327 до 0 °С.
179. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды, находящейся при температуре 300 К, и 4 кг воды при температуре 370 К.
180. Лед массой 1 кг, находящийся при температуре 0 °С, нагревают до температуры 57 °С. Определить изменение энтропии.
II . ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Дата: 2018-12-21, просмотров: 420.
