Точка есть то, что не имеет частей.

Примечание 1: здесь и далее определения, постулаты и аксиомы Евклида даются согласно перевода Д.Д. Мордухай-Болтовского (ОГИЗ, 1948 г) с греческого текста издания Гейзенберга. Сам я, не смотря на корни, греческим не владею, да и аутентичного текста начал все равно не сохранилось, а потому доверяюсь указанному переводу.

Даже такое простое определение в течение многих веков понималось по-разному различными комментаторами и исследователями труда Евклида. Более поздние комментаторы, отягощенные современной теорией строения материи, на основании этого определения относят Евклида к приверженцам атомистической теории строения материи и понимают точку, как аналог неделимого атома. Ранние комментаторы, не поняв сути, пытались на основании определений других геометрических фигур дать иное, по их мнению более точное определение точки. Например, определение Герона (одного из величайших древнегреческих инженеров, сформулировавшего золотое правило механики), которое звучит так: точка есть то, что не имеет величины, основанное на определениях линии и плоскости, рассматриваемых далее, может показаться достаточно логичным, однако вступает в явное противоречие со свойствами объектов, наблюдаемых в реальном мире. Даже элементарные частицы имеют размеры, не говоря уже об атомах и потому определение Герона не может считаться правильным. А если дать определение лучу (у Евклида подобное определение отсутствует вовсе) как линии, выходящей из некоторой точки (соответствующий этому определению образ реального мира - Солнце, испускающее лучи света, которые можно явственно видеть при облачной погоде), то точка - Солнце, объемом в миллион раз превышающее Землю, никак не вписывается в определение Герона. А вот определение Евклида подходит и для Солнца и вообще для всех звезд и планет галактики, если рассматривать эти объекты относительно друг друга, т.е. при таком взаимном расположении, когда размеры объектов пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между рассматриваемыми объектами. Некоторые комментаторы (Боссю, Безу) для большей наглядности рассматривали определения Евклида применительно к решению задач кинематики, ассоциируя понятия линии, окружности и др. с траекторией движения материальной точки. Это очень хороший прием, но мы форономические методы использовать не будем. А вот удержаться от аналогий с декартовой системой прямоугольных координат я не могу. Это логично, весь окружающий мир человек воспринимает, поставив себя в центр, и только так. Всякие там расчеты, вычисления нужны большинству людей не для гимнастики ума, а для удовлетворения своих утилитарных потребностей. Потому центром мироздания является человек и пусть мир вращается вокруг человека, а всяким там Коперникам, утверждающим, что это не так, место на костре. Но в целом нельзя забывать, что мир геометрии - некий абстрактный мир, который может не иметь ничего общего с реальным миром. Впрочем, мир геометрии создан с единственной целью - помочь человеку в решении конкретных задач, а потому реальные свойства предметов могут вовсе не учитываться и искать геометрическим понятиям аналогии в реальном мире порой бессмысленно. Хотя подобные аналогии очень нужны и полезны, так как помогают лучше понять суть предмета геометрии.

1.1. Таким образом у Евклида

Точка - это простейший элемент, который действительно можно рассматривать как атом геометрии, не имеющий никакого отношения к реальным атомам. При этом размеры точки не то чтобы равны нулю, но считаются настолько малыми, что для упрощения решения задач размерами этими можно пренебречь

А еще это означает, что в зависимости от вида решаемой задачи один и тот же физический объект окружающего нас мира (например, Солнце) может рассматриваться и как точка, и как двухмерный круг и как трехмерный шар. И если Евклид вкладывал в свое определение точки именно этот смысл, то тем самым дал первый толчок к формированию теории относительности.

Можно предположить, что из точек складываются или формируются все остальные геометрические фигуры. Однако сам Евклид нигде прямо об этом не говорит. В геометрии Евклида точка может рассматриваться как отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур.

Далее различные трактовки определений Евклида подробно рассматриваться не будут, а только необходимые на мой взгляд пояснения.

Линия - длина без ширины.

2.1. Это определение можно понимать так:

Концы же линии - точки.

Практически все комментаторы Евклида обходят это определение стороной. На первый взгляд в данном определении все достаточно просто и в дополнительных комментариях не нуждается, да и выглядит это определение, как продолжение определения №2, потому по большому счету и определением вовсе не является. Между тем - это одно из важнейших определений, без правильного понимания которого дальнейшее изучение геометрии Евклида просто бессмысленно.

Во-первых, совместное рассмотрение определений №2 и №3 не позволяет сделать вывод, что линия состоит из точек и тогда линия - это качественно новый элемент геометрии, прямого отношения к точкам не имеющий, однако линия как и геометрические фигуры, рассматриваемые далее, имеет свои границы - точки.

Во-вторых, определение №3 Евклида не допускает использования понятия бесконечности. Я думаю, это одна из причин, почему у Евклида нет отдельных определений для отрезка и для луча, да их и невозможно дать без использования понятия бесконечности.

Примечание 2: Понятие бесконечности появилось относительно недавно, в результате развития математической науки (возможно и под влиянием христианской идеи о вечной жизни). На мой взгляд понятие бесконечности является попыткой определить то, что по умолчанию определить нельзя, тем не менее введение понятия "бесконечность" помогает решать определенные математические задачи. Мудрые греки не использовали понятия "бесконечность" в нашем понимании этого слова и далее при определении параллельных прямых Евклид (или один из его учеников) использует понятие "неопределенность". Это может показаться малозначимой мелочью, но на самом деле это один из краеугольных камней познания окружающего мира. В свое время я тоже попался на удочку "бесконечности". Когда мне было 6 лет я любил листать учебники старшей сестры и рассматривать картинки. На одной из страниц учебника был показан принцип относительности размеров: на первой иллюстрации было нарисовано яблоко и Земля, конечно же не в правильных пропорциях, а в таких, чтобы наглядно показать разницу размеров яблока и Земли. На следующей иллюстрации была нарисована Земля размером с яблоко предыдущей картинки и Солнце размером в Землю предыдущей картинки. Затем следовали иллюстрации, дающие представление о размерах солнечной системы и нашей галактики. Впрочем основную суть относительности размеров я понял после просмотра первых двух иллюстраций и задал сестре вопрос: "А где кончается Вселенная?". Сестра сказала, что Вселенная нигде не заканчивается, так как она - бесконечная. Несколько дней мы спорили по этому вопросу, но так и не пришли к единому мнению. Границы Вселенной остались для меня загадкой на всю жизнь, и, думаю, не только для меня. Но вот теперь, рассматривая основные понятия Евклида я пришел к выводу, что если бы сестра использовала вместо понятия "бесконечность" понятие "неопределенность", то никакого спора вообще не было бы. Спорить о том, что неизвестно или неопределенно, не имеет смысла.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Другой вариант перевода: прямая есть линия, равномерно данная своими точками.

Это одно из самых важных и самых сложных определений Евклида. Как видим, ни один из вариантов перевода не приближает нас к пониманию того, что есть прямая линия. Евклид, стремясь максимально упростить изложение материала, явно перестарался, а уж комментаторы перебрали не только все возможные значения древнегреческих слов, использованных в этом определении, но и своих определений прямой линии оставили на несколько томов. Все это безусловно интересно, но подробному рассмотрению всевозможных определений прямой линии следовало бы посвятить отдельную статью, а пока, если придерживаться принятой ранее логики, то можно сделать следующие выводы:

Линии состоят из точек. При этом расстояния между соседними точками всегда одинаковы, а все точки кроме крайних являются общими для составляющих линию отрезков. Однако не все точки одинаково важны при определении характеристик геометрических элементов или фигур. Именно поэтому Евклид при определении линии не упомянул о том, что линия состоит из точек, но указал, что концы линии - точки. В связи с этим я бы ввел дополнительное понятие - характерные точки. Например, у любой линии есть как минимум две характерные точки: начальная точка и конечная точка. У ломаной линии, например, состоящей из двух прямолинейных отрезков будет как минимум 3 характерных точки, так как добавится точка, в которой свойства линии изменяются. В связи с этим определение Евклида можно понимать так:

Прямая линия - это линия, у которой есть только две характерные точки: начальная и конечная. Или, прямая линия - это линия, свойства которой ни в одной из точек не изменяются, за исключением точек начала и конца.

Впрочем для прямой линии можно дать и другие определения.

4.2. Прямая линия - это линия, которая состоит из множества отрезков, при этом расстояния между соседними точками (общими точками для отрезков) равны, а расстояния между не соседними точками пропорциональны расстоянию между соседними точками. Более понятным в данном случае было бы следующее определение: длина прямой линии равна сумме расстояний между точками, ее составляющими. А из этого определения можно вывести и определение кривой линии: длина кривой линии, представляющая собой сумму расстояний между соседними точками, всегда меньше расстояния между крайними точками. Но такие определения будут не совсем верными, точнее верными, но только для прямолинейных и криволинейных линий с конечной длиной. Дело в том, что прямая линия с точки зрения современной геометрии может иметь неограниченную длину, т.е. неопределенную или, как сейчас говорят, бесконечную длину и потому использовать неопределенность для определения чего-либо некорректно (см. примечание 2).

4.3. Для прямой линии всегда можно подобрать такую систему координат, при которой значения высоты и ширины для всех точек прямой линии будут постоянными, а изменяться будут только координаты длины, причем для каждой следующей точки это изменение будет составлять постоянную величину. Таким образом

Плоская поверхность (плоскость) - это двухмерный элемент геометрии. Это означает, что для плоскости всегда можно подобрать такую систему координат, при которой значения высоты для всех точек будут постоянными, а изменяться будут только координаты длины и ширины. Или плоскость всегда можно расположить так, что наблюдателю будет видна только одна прямая линия.

На этом описание элементов геометрии, которые могут являться формообразующими элементами Евклид заканчивает. Далее следуют определения элементов геометрии, которые следует рассматривать, не как формообразующие, а как вспомогательные, т.е. дополнительно характеризующие любую геометрическую фигуру.

Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние - между тремя, четырехсторонние - между четырьмя, многосторонние же - те, которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.

Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник (прямоугольник) же - прямоугольная, но не равносторонняя, ромб - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) - имеющая противоположные стороны и углы равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырехугольники будем называть трапециями.

Следующее определение, являющееся последним в книге I Евклида, нарушает выстроенный ранее логический ряд:

Основы геометрии. Начала Евклида.