Непосредственное интегрирование – это нахождение неопределенных интегралов с использованием таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла:

1. =

2. =k , где k=const

Таблица интегралов

1		11
2		12
3	( )	13	.
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20
		21

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

Пусть .

Тогда . Здесь t(x) – дифференцируемая монотонная функция.

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной.

Пример 1 .

Имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t:

в результате:

(возвращаемся к исходной переменной)

.

Пример 2 . .

Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:

=

Пример 3 . (интеграл №19 из табл.).

Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ):                                                                                  
.

Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: .

Поэтому
.

Пример 4 .

dx= = dt= dt= +С= +С

Интегрирование по частям

Производится по формуле:

Пример 5 .

= =

=x·  =x·

Пример 6 .

= =

=  =

Пример 7 .

= =

= .

ЗАДАЧА 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F ( b )- F ( a )

 – соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1 .

= =27-8=19.