Любая булева функция может быть представлена аналитически одной из нормальных форм (СДНФ, СКНФ). Последние используют ограниченное число элементарных булевых функций. Например, для СДНФ такими функциями являются «конъюнкция», «дизъюнкция» и «отрицание». Существуют системы булевых функций, с помощью которых можно аналитически представить любую сколь угодно сложную булеву функцию. Проектирование цифровых автоматов основано на знании таких систем булевых функций. Последнее особенно важно для разработки комплектов интегральных микросхем, из которых можно построить произвольный цифровой автомат. Проблема функциональной полноты является центральной проблемой функциональных построений в алгебре логики.
Определение. Функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называется совокупность таких булевых функций {f1, f2,..., fk}, что произвольная булева функция f может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.
К ФПСБФ следует отнести системы: { 
, 
,НЕ}, { , 
, НЕ}.
Определение свойств ФПСБФ основано на понятии замкнутого относительно операции суперпозиции класса функций. Класс булевых функций, функционально замкнутый по операции суперпозиции, есть множество функций, любая суперпозиция которых дает функцию, также принадлежащую этому множеству. Среди функционально замкнутых классов выделяют классы особого типа, называемые предполными, которые обладают следующим свойством. Предполный класс S не совпадает с множеством P2 всех возможных булевых функций, однако, если в него включить любую, не входящую в S, булеву функцию, то новый функционально замкнутый класс будет совпадать с множеством P2. Проведенные исследования показали, что предполных классов пять, а для построения ФПСБФ необходимо и достаточно, чтобы ее функции не содержались полностью ни в одном из пяти предполных классов. Перечислим предполные классы булевых функций:
1) булевы функции, сохраняющие константу 0;
2) булевы функции, сохраняющие константу 1;
3) самодвойственные булевы функции;
4) линейные булевы функции;
5) монотонные булевы функции.
Определение. К булевым функциям, сохраняющим константу 0, относят такие булевы функции f(x1,x2,...,xn), для которых справедливо соотношение
f (0,..., 0)=0.
Примерами булевых функций, сохраняющих константу 0, являются функции f0 – f7 (табл. 6.).
Определение. К булевым функциям, сохраняющим константу 1, относят такие булевы функции f(x1,x2,...,xn), для которых справедливо соотношение f (1,1, ..., 1)=1.
Примерами булевых функций, сохраняющих константу 1, являются функции f1, f3, f5, f7 (табл. 6).
Прежде чем ввести понятие класса самодвойственных функций, дадим следующее определение.
Определение. Булевы функции f1(x1,x2,...,xn) и f2(x1,x2,...,xn), называются двойственными друг другу, если выполняется соотношение f1(x1,x2,...,xn) = 
Двойственными являются функции из табл. 6 - f0 и f15 , f1 и f7 и т. д.
Определение. К самодвойственным булевым функциям относят такие булевы функции, которые двойственны по отношению к самим себе, т. е. справедливо соотношение f1(x1,x2,...,xn) = 
.
Если условиться называть противоположными наборами набор 
и набор 
, то определение самодвойственных функций дадим следующее.
Определение. Булева функция называется самодвойственной, если на любых двух противоположных наборах она принимает противоположные значения.
Самодвойственными являются функции f3, f5, f10, f12 из табл. 6.. Из определения самодвойственной функции следует, что она полностью определяется своими значениями на первой половине строк таблицы истинности.
Определение. К линейным булевым функциям относят такие булевы функции, которые представимы в виде
f(x1,x2,...,xn)=с0 
с1х1 ... сnхn,
где сі 
{0, 1}, а - операция «сумма по mod 2».
Линейными являются булевы функции из табл. 6 - f0, f3 , f5 и т. д.
Прежде чем ввести понятие класса монотонных булевых функций, дадим следующее определение.
Определение. Двоичный набор 
не меньше двоичного набора 
, (т.е. 
), если для каждой пары 
справедливо соотношение 
.
Так, набор 1011 ≥1010. Вместе с тем наборы 1011 и 0100 несравнимы в том смысле, что для них не выполняется ни соотношение , ни 
.
Определение. Булева функция f(x1,x2,...,xn) называется монотонной, если для любых двух наборов 
и 
таких, что 
имеет место неравенство f 
f( 
)
Монотонными являются булевы функции f0, f1,f3 , f5 (из табл. 6) и т.д.
Приведем без доказательства две формулировки теоремы о функциональной полноте.
Теорема. Для того чтобы система S булевых функций была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы эта система содержала хотя бы одну булеву функцию, не сохраняющую константу 0, хотя бы одну булеву функцию, не сохраняющую константу 1, хотя бы одну несамодвойственную булеву функцию, хотя бы одну нелинейную булеву функцию и хотя бы одну немонотонную булеву функцию.
Система булевых функций является функционально полной тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из предполных классов. При помощи функционально полной системы можно реализовать булеву функцию любой степени сложности.
Рассмотрим примеры ФПСБФ. К таким ФПСБФ, наиболее распространенным в практике построения цифровых автоматов, следует отнести: ( 
, НЕ); ( 
,НЕ); (V, НЕ); ( 
, НЕ), ( 
,1); где символами V, 
, 
, НЕ, 1 обозначены булевы функции: «дизъюнкция», «конъюнкция», «сумма по mod 2», «отрицание», «константа 1», соответственно.
Минимизация булевых функций
При проектировании цифровых автоматов широко используются методы минимизации булевых функций, позволяющие получать рекомендации для построения экономичных схем цифровых автоматов. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв. Следует отметить, что в общей постановке данная задача пока не решена, однако достаточно хорошо исследована в классе дизъюнктивно-конъюнктивных нормальных форм.
Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция конечного числа различных между собой булевых переменных, каждая из которых может иметь или не иметь отрицания.
Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Определение. Минимальной дизъюнктивной нормальной формой булевой функции называется ДНФ, содержащая наименьшее число букв (по отношению ко всем другим ДНФ, представляющим заданную булеву функцию). Определение. Булева функция g(x1,x2,...,xn) называется импликантой булевой функции f1(x1,x2,...,xn), если для любого набора переменных, на котором g = 1, справедливо f = 1. Пример. Булева функция f задана таблицей 8. Там же приведены все ее импликанты. При записи функции и ее импликант в СДНФ имеем
f= 
Ú 
Ú 
g1=
g2=
g3= V = 
g4=
g5= vv = 
g6= vv
g7= 
Ú Ú
Определение. Импликанта g булевой функции f, являющаяся элементарной конъюнкцией, называется простой, если никакая часть импликанты g не является импликантой функции f.
Из примера видно, что импликанты g3 и g5 являются простыми импликантами функции f. Другие импликанты не являются простыми, так как их части являются импликантами функции f, например g3 является частью g1. Приведем без доказательства два утверждения, полезные при получении минимальной ДНФ.
1. Дизъюнкция любого числа импликант булевой функции f также является импликантой этой функции.
2. Любая булева функция f эквивалентна дизъюнкции всех своих простых импликант. Такая форма представления булевой функции называется сокращенной ДНФ.
Перебор всех возможных импликант для булевой функции f из рассмотренного примера дает возможность убедиться, что простых импликант всего две: g3 и g5. Следовательно, сокращенная ДНФ функции f имеет вид:
f = g3 V g5 = 
V
Как видно из табл. 6.8., импликанты g3 и g5 в совокупности покрывают своими единицами все единицы функции f. Получение сокращенных ДНФ является первым этапом отыскания минимальных форм булевых функций. Как уже отмечалось, в сокращенную ДНФ входят все простые импликанты булевой функции. Иногда из сокращенной ДНФ можно убрать одну или несколько простых импликант, не нарушая эквивалентности исходной функции. Такие простые импликанты назовем лишними. Исключение лишних простых импликант из сокращенных ДНФ — второй этап минимизации.
Определение. Сокращенная ДНФ булевой функции называется тупиковой, если в ней отсутствуют лишние простые импликанты.
Устранение лишних простых импликант из сокращенной ДНФ булевой функции не является однозначным процессом, т.е. булева функция может иметь несколько тупиковых ДНФ.
Утверждение. Тупиковые ДНФ булевой функции f, содержащие минимальное число букв, являются минимальными. Минимальных ДНФ тоже может быть несколько.
Рассмотрим несколько методов минимизации. Все они практически различаются лишь на первом этапе — этапе получения сокращенной ДНФ. Следует отметить, что, к сожалению, поиск минимальной ДНФ всегда связан с некоторым перебором решений. Существуют методы уменьшения этого перебора, однако он всегда остается.
Метод Квайна
Метод Квайна основывается на применении двух основных соотношений.
1. Соотношение склеивания
где А — любое элементарное произведение.
2. Соотношение поглощения
Справедливость обоих соотношений легко проверяется.
Теорема Квайна. Если в СДНФ булевой функции выполнить все возможные склеивания и поглощения, то в результате будет получена сокращенная ДНФ.
Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью.
Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = 
может быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания): 
по всем недостающим переменным исходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р — ее импликанта.
Минимизация по методу Квайна выполняется по следующему алгоитму:
1. Выполняются все склеивания в СДНФ.
2. Выполняются все поглощения.
3. Результирующая функция проверяется на возможность дальнейшего склеивания и поглощения.
4. После получения сокращенной ДНФ строится импликантная матрица, по которой находятся “лишние” импликанты.
Пример. Пусть имеется булева функция, заданная таблицей истинности (табл 9). Ее СДНФ имеет вид:
f= 
Ú 
Ú 
Ú 
Ú 
Ú 
Для удобства изложения пометим каждую конституенту единицы из СДНФ функции f каким-либо десятичным номером (произвольно). Выполняем склеивания. Конституента 1 склеивается только с конституентой 2 (по переменной х3) и с конституентой 3 (по переменной х2 ) конституента 2 с конституентой 4 и т. д. В результате получаем:
1-2: 
1-3: 
2-4: 
3-4: 
4-6: 
5-6: 
Заметим, что результатом склеивания является всегда элементарное произведение, представляющее собой общую часть склеиваемых конституент.
Далее производим склеивания получаемых элементарных произведений. Склеиваются только те произведения, которые содержат одинаковые переменные. Имеет место два случая склеивания:
Ú 
= Ú Ú 
Ú 
= Ú Ú
с появлением одного и того же элементарного произведения 
. Дальнейшие склеивания невозможны. Произведя поглощения (из полученной ДНФ вычеркиваем все поглощаемые элементарные произведения), получим сокращенную ДНФ:
Ú Ú
Переходим к следующему этапу. Для получения минимальной ДНФ необходимо убрать из сокращенной ДНФ все лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной матрицы Квайна. Строки такой матрицы отмечаются простыми импликантами булевой функции, т. е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы — конституентами единицы, т. е. членами СДНФ булевой функции.
Пример (продолжение). Импликантная матрица имеет вид (табл. 10).
Таблица 10.
| Простые | Конституенты единицы | |||||
| импликанты |
| 
| 
| 
| 
| 
|
| Х | Х | Х | Х | ||
| Х | Х | ||||
|
| Х | Х | ||||
Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной матрицы на пересечении строки (с рассматриваемой простой импликантой) и столбца (с конституентой единицы) отмечается крестиком (табл. 10). Минимальные ДНФ строятся по импликантной матрице следующим образом:
1) ищутся столбцы импликантной матрицы, имеющие только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.
2) рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в такой совокупности импликант.
Пример (продолжение). Ядром нашей функции являются импликанты 
и . Импликанта 
- лишняя, так как ядро накрывает все столбцы импликантной матрицы. Поэтому функция имеет единственную тупиковую и минимальную ДНФ:
fmin= 
Ú
Следует отметить, что число N крестиков в одной строке всегда является степенью 2. Более того, читатель может легко убедиться в том, что N = 2n-k, где k — число букв, содержащихся в простой импликанте.
Заметим также, что используя различные соотношения, можно расширить область применения метода Квайна за пределы совершенной ДНФ.
Метод Квайна-Мак-Класки
Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:
1. Все конституенты единицы из СДНФ булевой функции f записываются их двоичными номерами.
2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования і-й группы: і единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.
3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием, звездочкой и т.д.).
4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.
Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной матрице, как и в методе Квайна. Более подробно рассмотрим метод на примере решения следующей задачи: минимизировать методом Квайна-Мак-Класки булеву функцию f, заданную таблицей истинности (табл. 9).
1. В СДНФ функции f заменим все конституенты единицы их двоичными номерами: f=0001Ú0011Ú0101Ú0111Ú1110Ú1111
2. Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования і-й группы является і единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл.11).
3. Склеим номера из соседних групп табл.11. Склеиваемые номера обозначим звездочками (номер отмечается в том случае, если участвует в склеивании хотя бы один раз). На месте разрядов, по которым произошло склеивание, проставляются прочерки. Результаты склеивания занесем в табл. 12. Склеим номера из соседних групп табл. 12. Склеиваться могут только номера, имеющие прочерки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера отметим. Результаты склеивания занесем в табл. 13.
4. Имеем три простые импликанты: -111, 111-, 0--1.
Таблица 11 Таблица 12 Таблица 13
| Номер группы | Двоичные номера кон-ституент 1 | Номер группы | Двоичные номера импликант | Номер группы | Двоичные номера импликант | ||
| 0 | - | 1 (1-2) | 00-1 * | 1 | 0--1 | ||
| 1 | 0001 * | 0-01 * | 0--1 | ||||
| 2 | 0011 * | 2 (2-3) | 0-11 * | 2 | -111 | ||
| 0101 * | 01-1 * | 111- | |||||
| 3 | 0111 * | 3 (3-4) | -111 | ||||
| 1110 * | 111- | ||||||
| 4 | 1111 * |
Таблица 14
| Простые | Конституенты единицы | |||||
| импликанты | 
| 
| 
| 
| 
|
|
 (0--1)
| Х | Х | Х | Х | ||
 (-111)
| Х | Х | ||||
| (111-)
| Х | Х | ||||
5. Строим импликантную матрицу (табл. 14). По таблице определяем совокупность простых импликант - 0--1 и 111-, соответствующую минимальной ДНФ. Для восстановления буквенного вида простой импликанты достаточно выписать произведения тех переменных, которые соответствуют сохранившимся двоичным цифрам:
fmin= Ú
Заметим, что разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании.
Метод диаграмм Вейча
Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (табл. 15). Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. В табл.15. это соответствие показано. В клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (табл. 16). Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (табл. 17). Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 4-х переменных, к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.
Для приведенных диаграмм характерно следующее:
1) каждой клетке диаграммы соответствует свой набор;
Таблица 15. Таблица 16.
| 
|
|
| ||||||
| 11 | 01 |
| 110 | 111 | 011 | 010 | ||
| 10 | 00 |
| 100 | 101 | 001 | 000 | ||
|
| 
| |||||||
Таблица 17. Таблица 18.
|
|
| х1 |
| ||||||||
| х1 | 1100 | 1101 | 1001 | 1000 | 
| 
| 1 | 1 | 1 | ||
| х1 | 1110 | 1111 | 1011 | 1010 | х3 |
| 1 | ||||
| 0110 | 0111 | 0011 | 0010 | х3 |
|
| 
| |||
|
| 0100 | 0101 | 0001 | 0000 |
| ||||||
| х4 | х4 |
| ||||||||
2) соседние наборы расположены рядом в строке либо в столбце. Соседними наборами называются наборы, отличающиеся одной компонентой. Напомним, что конституенты, соответствующие таким наборам, склеиваются (см. метод Квайна-Мак-Класки). Например, для функции, заданной табл. 18, конституенты, соответствующие паре единиц в левой части таблицы, склеиваются и порождают элементарное произведение из двух букв:
= 
О паре единиц в правой части диаграммы можно сказать то же самое: 
= 
.
Отметим, что получающееся элементарное произведение легко определить сразу по диаграмме: это произведение переменных, принимающих одно и то же значение в обеих клетках.
Еще одно важное замечание: столбцы, расположенные по краям диаграммы, тоже считаются соседними. Для нашего примера это означает, что имеет место еще одно склеивание, в результате которого, следуя указанному правилу, получаем элементарное произведение 
. Из рассмотренных ранее методов нам известно, что возможно дальнейшее склеивание получаемых элементарных произведений. На диаграммах Вейча они тоже располагаются рядом. Общее правило склеивания на диаграммах Вейча можно сформулировать следующим образом: склеиванию подлежат прямоугольные конфигурации, заполненные единицами и содержащие число клеток, являющееся степенью 2. Получающееся новое элементарное произведение определяется как произведение переменных, не меняющих своего значения на всех склеиваемых наборах. Число m оставшихся переменных в элементарном произведении определяется легко:
m=n-log2M,
где n- число переменных,
M - число склеиваемых наборов.
Метод широко используется на практике, благодаря простоте и удобству. После небольшой тренировки достигается элементарный навык определения минимальной ДНФ по диаграмме «с первого взгляда».
Минимизация булевой функции заключается в нахождении минимального покрытия всех единиц диаграммы Вейча блоками из единиц (указанной конфигурации), расположенных в соседних клетках диаграммы. При этом всегда считается, что левый край диаграммы Вейча 4-х переменных примыкает к ее правому краю, а верхний край диаграммы примыкает к нижнему ее краю. Для удобства можно предположить, что диаграмма сворачивается в цилиндр как по горизонтали, так и по вертикали. После получения минимального покрытия всех единиц диаграммы Вейча, минимальная ДНФ булевой функции записывается как дизъюнкция элементарных конъюнкций, соответствующих выделенным блокам единиц в диаграмме.
В диаграмме Вейча необходимо и достаточно, чтобы каждая единичная клетка участвовала в склейке хотя бы один раз.
Новую склейку можно образовывать в том случае, если есть хотя бы одна единичная клетка, не участвовавшая до этого в склейке.
Вся диаграмма должна быть покрыта наименьшим количеством склеек. В склейку может входить 2n соседних клеток (2, 4, 8, 16. и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров.
Таблица 19 Таблица 20
X4 X3
|
|
|
|
| |||||||||||
 х1
|
| х1 | 1 | 1 | 
| ||||||||||
 х1
| 1 | 1 | х3 | х1 | 1 | 1 | 1 | 1 | х3 | ||||||
 
| 1 | 1 | х3 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | х3 | ||||||
|
| 1 | 1 |
|
| 1 | 1 |
| ||||||||
|
| х4 | х4 |
| 
| х4 | х4 |
| ||||||||
f1= v f2= X4 v X3
Карты Карно
Иногда удобно пользоваться несколько другим представлением диаграмм с цифровым кодом. Это карты Карно. Примеры карт Карно приведены на рисунке 2. По граням карты проставляются двоичные коды - коды Грея, что дает возможность легко проставлять значения функции и находить результат. Правила минимизации с применение карт Карно такие же, как и для диаграмм Вейча.
 |  | ||
| х2х3 х1 | 00 | 01 | 11 | 10 | х3х4 х1х2 | 00 | 01 | 11 | 10 | ||
| 0 | 000 | 001 | 011 | 010 | 00 | 0000 | 0001 | 0011 | 0010 | ||
| 1 | 100 | 101 | 111 | 110 | 01 | 0100 | 0101 | 0111 | 0110 | ||
| 11 | 1100 | 1101 | 1111 | 1110 | |||||||
| 10 | 1000 | 1001 | 1011 | 1010 | |||||||
| а) | б) |
Рисунок 2- Карты Карно:
а) функции 3-х переменных;
б) функции 4-х переменных.
Дата: 2019-12-10, просмотров: 212.
