Вычисление определенных интегралов встречается при моделировании систем и процессов достаточно часто. Численные методы в этом случае применяются либо когда не удается выразить интеграл в замкнутой форме, либо эта форма настолько сложна, что проще воспользоваться численным интегрированием, либо когда подинтегральная функция задана таблично.

Постановка задачи

Найти значение определенного интеграла

                                                         (14)
при условии, что концы отрезка интегрирования а и b конечны, а f(x) является непрерывной, функцией от х на всем интервале a ≤ x ≤ b.

Общий подход к решению данной задачи следующий. Определенный интеграл I представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью х и прямыми х = а и х = b. Разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов, можно приближенно найти площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и, суммируя площади этих полосок, получить приближенное значение интеграла. При этом можно рассмотреть два способа разбиения исходного отрезка интегрирования:

Разбиение на интервалы производится заранее, они обычно выбираются равными. Кроме того, если вычисление интеграла предполагается производить «вручную», то интервалы выбираются так, чтобы значения х, соответствующие концам каждого интервала, было как можно легче вычислять. К этой категории методов принадлежат методы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа: сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются их границы. Примером такого подхода является метод Гаусса.

Формулы для приближенного вычисления определенного интеграла (14) вида

                                               (15)
называются квадратурными. Постоянные  являются коэффициентами (весами) квадратуры,  – ее узлами, а правая часть равенства (15) – квадратурной суммой. Чем больше значение n, тем точнее вычисляется интеграл. Все методы различаются значениями узлов  и весов . Сравнение эффективности различных методов производится по степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень полинома, тем выше точность метода.

2.3.2. Формула Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования на 2n равных частей длиной ; при этом , , ,  (рис. 3).

Через каждую тройку точек

проведем параболу.

Рис.3

В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами. На каждом отрезке   заменим площадь под кривой f(x) на площадь такой трапеции и просуммируем их:

Можно доказать, что для каждой трапеции справедлива формула

    
Тогда

(16)

Эта формула называется формулой Симпсона. В ней все ординаты с четными номерами (кроме нулевой и последней) имеют коэффициент 2, а с нечетными - 4. Формула (16) точна для полиномов третьего порядка.

Абсолютная погрешность формулы (16) оценивается неравенством

           .

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл

                                          
методом Симпсона. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей.

Решение

Разбиваем отрезок интегрирования [а; b] на 10 частей. При этом . Шаг интегрирования . Подынтегральная функция . Узлы интегрирования вычисляют по формуле

     , , , .

Для удобства сведем вычисление узлов интегрирования и значений функции в них в таблицу (табл. 6).

                                                     Таблица 6

Номер узла
0	1	3·1 + ln 1 = 3
1	1 + 0,1 = 1,1	3·1,1 + ln 1,1 = 3,395
2	1,1 + 0,1 = 1,2	3·1,2 + ln 1,2 = 3,782
3	1,2 + 0,1 = 1,3	3·1,3 + ln 1,3 = 4,162
4	1,3 + 0,1 = 1,4	3·1,4 + ln 1,4 = 4,534
5	1,4 + 0,1 = 1,5	3·1,5 + ln 1,5 = 4,905
6	1,5 + 0,1 = 1,6	3·1,6 + ln 1,6 = 5,27
7	1,6 + 0,1 = 1,7	3·1,7 + ln 1,7 = 5,631
8	1,7 + 0,1 = 1,8	3·1,8 + ln 1,8 = 5,988
9	1,8 + 0,1 = 1,9	3·1,9 + ln 1,9 = 6,342
10	1,9 + 0,1 = 2	3·2 + ln 2 = 6,693

По формуле Симпсона (16) имеем