Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Говорят, что в области D (пространственной или плоской) задано векторное поле, если каждой точке М из D поставлен в соответствие некоторый вектор . Если введена прямоугольная декартова система координат, то векторное поле определит в D некоторую векторную функцию от координат точки М:  - для пространственной области или  - для плоской области. В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции , ,  имеют непрерывные частные производные в D, т.е. поле  непрерывно дифференцируемое. Для геометрической характеристики векторного поля вводят понятие векторной линии.

Определение. Векторной линией поля  называется гладкая кривая, в каждой точке М которой касательная имеет то же направление, что и вектор .

Векторные линии поля  определяются системой дифференциальных уравнений

                           .                       (3)

Аналогично, если поле имеет вид , то уравнение векторных линий имеет вид:   

                                         .                                          (4)

Пример 4 . Найти векторные линии поля .

Решение.

В данном случае ,  и система (3) принимает вид:

,

где ,  – неизвестные функции. Из второго уравнения получаем: . Подставим в первое уравнение: . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Решаем его:

.

Но , следовательно, .

Обозначив , получим x²+y²+z²= c.

Итак, векторные линии поля  определяются системой алгебраических уравнений . Это семейство пространственных кривых, которые получаются пересечением сфер  x²+y²+z²= c и плоскостей z = y+c₁, параллельных оси ОХ. 

Пример 5 . Найти векторные линии поля .

Решение

Воспользуемся уравнением (4), которое в данном случае принимает вид: .

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим:

.

Таким образом, векторные линии представляют собой окружности в плоскости ХОУ с центром в точке (2; 1).

 

 

Поток векторного поля

 

Определение. Потоком векторного поля  через поверхность S в направлении нормали  к поверхности S называется поверхностный интеграл первого рода

                                        ,                                             (5)

где  – скалярное произведение.

 

Пример 6 . Найти поток векторного поля

через поверхность S: ,  (нормаль внешняя).

Решение

Поверхность S представляет собой круговой конус, ось которого совпадает с осью ОУ (рис. 2.1).

Найдем единичную нормаль к поверхности S по формуле (2), для чего рассмотрим скалярное поле :

,

.

Так как интеграл (5) берется по поверхности S, а на ней , то .

.

Рисунок 2.1

 

Нормаль к внешней стороне конуса S образует с осью ОУ тупой угол, т.е. ее проекция на ось ОУ отрицательна. Следовательно, в последней формуле нужно взять знак «+»:

.

 (на S ).

Итак, . Последний интеграл равен площади S _б боковой поверхности конуса S. Так как , то .

В последнем примере вычисление поверхностного интеграла свелось к вычислению площади поверхности S. В более общем случае приходится использовать ту или иную формулу вычисления поверхностных интегралов.

Пусть, например, поверхность S однозначно проектируется на плоскость ХОУ. Тогда ее можно задать уравнением , а поверхностный интеграл (5) можно свести к двойному интегралу по формуле:

         ,                                   (6)

где  – проекция поверхности S на плоскость ХОУ, а  – угол единичной нормали к  с осью О Z. Заметим, что , поэтому  получаем при нахождении нормали .

Если поверхность  не проектируется однозначно ни на одну из координатных плоскостей, то ее разбивают на части, каждая из которых однозначно проектируется на ту или иную координатную плоскость.

Пример 7 . Найти поток поля через часть плоскости , вырезаемую координатными плоскостями (нормаль образует острый угол с осью OZ).

Решение

Нормаль к поверхности  можно найти по формуле (2), но проще учесть, что в уравнении плоскости коэффициенты при x , y , z являются координатами некоторого перпендикулярного к плоскости вектора, т.е. вектор  является нормалью к .

Тогда .

Отсюда, в частности, получаем: , а так как по условию нормаль образует острый угол с осью OZ, то нужно взять знак «+», т.е.

;

.

 

у

Рисунок 2.2

В данном примере поверхность  (треуголь-ник) однозначно проекти-руется на каждую из координатных плоскостей. Возьмем для определенно-сти проекцию на плоскость ХОУ (см. рис. 2.2).

Уравнение плоскости запишем в виде

 

и подставим правую часть вместо z в :

.

 

По формуле (6) получим:

.

Пример 8 . Найти поток поля через замкнутую поверхность  (нормаль внешняя).

Решение

Рисунок 2.3

Поверхность

представляет собой параболоид вращения (рис. 2.3), т.е. поверхность S состоит из части S₁ параболоида и части S₂ плоскости z =0.

Поток через поверхность S будет равен сумме потоков  через S₁ и S₂ соответственно. Для нахождения нормали  к S₁ рассмотрим скалярное поле  и воспользуемся формулой (2).

,     

;

 

(при выборе знака нормали учли, что ее проекция на ось OZ положительна для внешней стороны S₁).

Заметим, что поверхность S₁ однозначно проектируется на плоскость ХОУ, поэтому воспользуемся формулой (6):

.

, .

 

Следовательно,

,

где D ₁ – проекция  на плоскость ХОУ – круг . Очевидно, последний интеграл удобнее вычислить в полярных координатах:

, .

.

На поверхности S₂  и , поэтому  и .

Таким образом, суммарный поток равен .