Говорят, что в области D (пространственной или плоской) задано скалярное поле, если каждой точке M из D поставлено в соответствие некоторое число. Тем самым в области D определена скалярная функция u ( M ). Если ввести некоторую систему координат, например, трехмерную декартову, то точка М будет определяться тройкой чисел х, у, z, а задание поля u ( M ) сведется к заданию функции от трех переменных, которую будем обозначать той же буквой u: u ( x , y , z ).

Термином «поле» подчеркивается тот факт, что значение функции u зависит только от точек М и не зависит от того, в каких координатах задаются эти точки.

Пусть u ( M ) – некоторое скалярное поле в области D и М₀ – внутренняя точка из D. Возьмем вектор (луч)  с началом в точке М₀ и произвольную точку  на  (так, чтобы отрезок  целиком принадлежал области D).

Определение.  Производной скалярного поля u в точке  по направлению  называется предел отношения разности  к длине отрезка , когда  стремится к  по лучу :

.

Пусть поле u задано в декартовой системе координат, т.е. .

Теорема 1. Если функция  дифференцируема в точке , то в этой точке существует производная поля u по любому направлению, причем

               ,                         (1)

где , ,  – направляющие косинусы вектора .

Пример 1 . Найти производную скалярного поля  в точке  в направлении вектора , .

Решение

Находим частные производные функции  и вычисляем их значения в точке :

, , ;

, , .

Вектор  имеет вид: , а единичный вектор того же направления представим в виде:

.

Следовательно,

, , .

По формуле (1) получим:

.

Определение. Градиентом скалярного поля  в точке  называется вектор , где частные производные вычисляются в точке  (предполагается, что они существуют).

Это определение использует декартову систему координат. Можно дать другое, инвариантное определение градиента. Действительно, из формулы (1) следует, что , где  – скалярное произве-дение.

Таким образом, градиент скалярного поля u в точке  – это вектор, проекция которого на любое направление  равна производной поля  в точке  в направлении .

Отсюда, в частности, можно сделать следующий вывод: если поверхность S задана уравнением , то единичная нормаль к этой поверхности в точке  может быть найдена через градиент скалярного поля v по формуле

                  .                                         (2)

Знак «+» берется в случае, когда направление искомой нормали и градиента совпадают, а «-» – в противном случае.

Пример 2 . Найти производную скалярного поля  в точке  в направлении нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ.

Решение

Воспользуемся формулой , где  – указанная единичная нормаль к поверхности S в точке .

Найдем градиент поля u в т.  (в координатной форме):

, , ;

, , ;

.

Для нахождения нормали  воспользуемся формулой (2). В нашем случае поверхность S задана уравнением . Поэтому возьмем .

, , ;

, , ;

,

.

 – это одна из двух противоположных по направлению единичных нормалей к S.

По условию нормаль образует с осью OZ острый угол и, значит, ее проекция на ось OZ положительна; у последнего вектора она отрицательна. Следовательно, в формуле (2) нужно взять знак минус:

.

Окончательно находим:

.

Пример 3 . Найти угол между градиентами скалярных полей

 и  в точке .

Решение

Известно, что угол  между двумя ненулевыми векторами  и  находится из формулы

.

Воспользуемся этой формулой для  и .

, , ;

, , ;

,

.

, , ;

, , ;

,

.

.

Следовательно, .