Примечание 1: здесь и далее определения, постулаты и аксиомы Евклида даются согласно перевода Д.Д. Мордухай-Болтовского (ОГИЗ, 1948 г) с греческого текста издания Гейзенберга. Сам я, не смотря на корни, греческим не владею, да и аутентичного текста начал все равно не сохранилось, а потому доверяюсь указанному переводу.

Даже такое простое определение в течение многих веков понималось по-разному различными комментаторами и исследователями труда Евклида. Более поздние комментаторы, отягощенные современной теорией строения материи, на основании этого определения относят Евклида к приверженцам атомистической теории строения материи и понимают точку, как аналог неделимого атома. Ранние комментаторы, не поняв сути, пытались на основании определений других геометрических фигур дать иное, по их мнению более точное определение точки. Например, определение Герона (одного из величайших древнегреческих инженеров, сформулировавшего золотое правило механики), которое звучит так: точка есть то, что не имеет величины, основанное на определениях линии и плоскости, рассматриваемых далее, может показаться достаточно логичным, однако вступает в явное противоречие со свойствами объектов, наблюдаемых в реальном мире. Даже элементарные частицы имеют размеры, не говоря уже об атомах и потому определение Герона не может считаться правильным. А если дать определение лучу (у Евклида подобное определение отсутствует вовсе) как линии, выходящей из некоторой точки (соответствующий этому определению образ реального мира - Солнце, испускающее лучи света, которые можно явственно видеть при облачной погоде), то точка - Солнце, объемом в миллион раз превышающее Землю, никак не вписывается в определение Герона. А вот определение Евклида подходит и для Солнца и вообще для всех звезд и планет галактики, если рассматривать эти объекты относительно друг друга, т.е. при таком взаимном расположении, когда размеры объектов пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между рассматриваемыми объектами. Некоторые комментаторы (Боссю, Безу) для большей наглядности рассматривали определения Евклида применительно к решению задач кинематики, ассоциируя понятия линии, окружности и др. с траекторией движения материальной точки. Это очень хороший прием, но мы форономические методы использовать не будем. А вот удержаться от аналогий с декартовой системой прямоугольных координат я не могу. Это логично, весь окружающий мир человек воспринимает, поставив себя в центр, и только так. Всякие там расчеты, вычисления нужны большинству людей не для гимнастики ума, а для удовлетворения своих утилитарных потребностей. Потому центром мироздания является человек и пусть мир вращается вокруг человека, а всяким там Коперникам, утверждающим, что это не так, место на костре. Но в целом нельзя забывать, что мир геометрии - некий абстрактный мир, который может не иметь ничего общего с реальным миром. Впрочем, мир геометрии создан с единственной целью - помочь человеку в решении конкретных задач, а потому реальные свойства предметов могут вовсе не учитываться и искать геометрическим понятиям аналогии в реальном мире порой бессмысленно. Хотя подобные аналогии очень нужны и полезны, так как помогают лучше понять суть предмета геометрии.

1.1. Таким образом у Евклида

Точка - это простейший элемент, который действительно можно рассматривать как атом геометрии, не имеющий никакого отношения к реальным атомам. При этом размеры точки не то чтобы равны нулю, но считаются настолько малыми, что для упрощения решения задач размерами этими можно пренебречь

А еще это означает, что в зависимости от вида решаемой задачи один и тот же физический объект окружающего нас мира (например, Солнце) может рассматриваться и как точка, и как двухмерный круг и как трехмерный шар. И если Евклид вкладывал в свое определение точки именно этот смысл, то тем самым дал первый толчок к формированию теории относительности.

Можно предположить, что из точек складываются или формируются все остальные геометрические фигуры. Однако сам Евклид нигде прямо об этом не говорит. В геометрии Евклида точка может рассматриваться как отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур.

Далее различные трактовки определений Евклида подробно рассматриваться не будут, а только необходимые на мой взгляд пояснения.

Линия - длина без ширины.

2.1. Это определение можно понимать так: