Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1) Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

ò

                    [ f(х)dх ]’ = f(х) .

ò

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

                 f(х)dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

ò

Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем

                  [ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,

ò

откуда           

                 [ f(х)dх ]’ = F’(х) + С¹ = F’(х) = f(х) .

2)

ò

Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

                 d f(х)dх = f(х)dх    

ò

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

ò

                   f(х)dх = F(х) + С

            d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3)

ò

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть

                 dF(х) = F(х) + С, (v)

ò

Доказательство.  Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

                 d  dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

ò

                   d(F(х) + С) = dF(х)

ò

следовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

                   dF(х) = F(х) + С

4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

                 а f(х)dх = а f(х)dх (а ¹ 0)

ò

Доказательство.  Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

ò

ò

                 d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

 и            d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

                 (в силу свойства дифференциала)

Таким образом, дифференциалы функций

ò

ò

а f(х)dх и а f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х)dх = = а f(х)dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

                 а f(х)dх = а f(х)dх.

5)

ò

ò

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

           [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₃(х)dх – f₃(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

ò

Дифференцирование любой части равенства даёт: 

                 d [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

ò

ò

ò

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

ò

ò

ò

               d[ f₁(х)dх +  f₂(х)dх – f₃(х)dх] =

                 = d f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх = [ f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).