Рассмотрим систему функций
(с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где – комплексная переменная. Предположим, что при каждом
(принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность
. В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций системы ,
– внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению
) называется производящей функцией системы
.
Обратно, пусть задана функция , где
пробегает некоторое множество,
находится внутри некоторого кольца, зависящего от
, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если
при каждом
аналитична относительно
внутри соответствующего кольца, то
есть производящая функция некоторой системы
функций. В самом деле, разложив при каждом
функцию
в ряд Лорана по степеням
:
,
найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой
.
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности
в простой интеграл, получим:
. (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (
…) производящая функция есть:
.
Имеем:
,
,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме и
были связаны зависимостью
, то мы могли положить
, получив суммирование по одному индексу
). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым
, для которых
, следовательно, при
это будет
; при
это будет
. Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть
в силу формул (5`) и (5```). Итак,
, (18)
но это и доказывает, что есть производящая функция для системы
.
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:
,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )
(18`)
(18``)
Заменяя в (18`) и (18``) на
, найдем:
, (18```)
. (18````)
Интегральное представление Jn(x)
Так как, по доказанному, при имеем
, то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что есть четная функция от
есть нечетная функция от
. Итак, доказано, что для любого целого числа
. (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для
, правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при
найдем:
. (19`)
Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
,
, (20)
где и
– непрерывные функции на
. Пусть
и
– ненулевые решения этих уравнений. Умножение на
и на
и последующее вычитание дают
.
Пусть и
принадлежат
и
, тогда после интегрирования в пределах от
до
получим
. (21)
Если и
– соседние нули решения
, то между
и
сохраняет постоянный знак, пусть, например,
на (
,
) (в противном случае следует заменить
на
), тогда
,
(равенство нулю исключено, так как
– ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на
, то
должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между
и
, так как иначе
сохранит постоянный знак на (
,
). Пусть, например,
на (
,
) (в противном случае заменяем
на
), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на
, то каждое ненулевое решение уравнения
может иметь на
не более одного нуля (это легко видеть, если положить
и взять
). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
, взять
и заметить, что нулями
будут только числа вида
,
целое). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
и взять
). Из сказанного следует, что если
на
, то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем
.
Изложенное показывает, что если непрерывна на
и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение
уравнения
имеет на
бесконечно много нулей. Если еще
вблизи
не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность
, имеющую пределом +∞, а если, кроме того,
, где
, то
.
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале . Подстановка
приводит к уравнению
.
Очевидно, и
имеют одни и те же нули. Так как
, где
– целая функция, то
не имеет нулей на
при достаточно малом
, и так как
при
, то при каждом
нули
на
образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем .
Если , то
удовлетворит уравнению
на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению
и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных
и
имеем
, где
,
, где
,
откуда
,
следовательно,
, где
. (22)
Пусть теперь . Разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, так как коэффициент при
равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при
получим
,
то есть
, (23)
откуда видно, что если и
являются разными нулями функции
, то
. (23`)
Этим доказано, что при система функций
на интервале является ортогональной относительно веса
.
Переходя к пределу при в соотношении
и используя правило Лопиталя, получим при всяком
, (24)
следовательно, если является нулем функции
, то
. (24`)
Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции
на
, удовлетворяющей требованию
,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
, (25)
коэффициенты которого определяются формулами
. (25`)
Можно доказать, что система функций на
, ортогональная относительно веса
, замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции
.
Можно показать, что если и
непрерывная на
и кусочно-гладкая на
функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при
.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 198.