Основные виды сообщений, сигналов, их характеристики. Телефонный (речевой) сигнал. Телевизионный сигнал. Сигнал передачи данных, телеграфный сигнал.
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

6. Основные понятия и определения случайных процессов. Плотность вероятности. Характеристические функции и функции распределения вероятностей.

При изучении различных реальных явлений рассматривают всевозможные величины, зависящие от времени: x = x(t). Такие величины принято называть процессами. Говоря о случайных процессах, как правило, имеют в виду некоторую случайную величину ξ(t), меняющуюся с течением времени t . Будем называть случайным процессом ξ(t) функцию от действительного параметра t∈T (времени), значения которой при каждом t являются случайной величиной. Строгое определение случайного процесса состоит в следующем. Набор ξ(t) ={ξ(t,ω), t∈T, ω∈Ω}случайных величин, определенных на одном и том же вероятностном пространстве (Ù ,F,P), называется случайной функцией. Пусть (Ù ,F,P) – вероятностное пространство, T – некоторое множество моментов времени. И пусть каждому ω∈Ω поставлена в соответствие функция ξ = ξ(t) = ξ(t,ω) t, t∈T ,со значениями в n-мерном пространстве (n ≥1) такая, что при каждом фиксированном t∈T функция ξ(t,ω) является случайной величиной. Эта функция называется случайным процессом. Следовательно, случайный процесс – это совокупность случайных величин, зависящих от времени. Естественно, ег оможно рассматривать как функцию двух переменных: t и ω. Как следует из определения, ξ(t,ω) является n–мерной случайной величиной при любом фиксированном t. При фиксированном ω∈Ω функция ξ(t,ω) называется реализацией (траекторией или выборочной функцией) случайного процесса. Совокупность всех реализаций случайного процесса называется ансамблем (семейством) реализаций.

Различают: непрерывный случайный процесс (x и t непрерывны); дискретный случайный процесс (x дискретно, t непрерывно); непрерывные случайные последовательности ({временные ряды} x не прерывно, t дискретно); дискретные последовательности (x и t дискретны).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию — первую производную от функции распределения :

 

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до :

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю P{X=α}=0 для любого α.      

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.




Дата: 2019-07-23, просмотров: 420.