Некоторые положения теории вероятности

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Дисциплина «Статистические методы в геологии»

Лекция 2

Слайд_1

Некоторые положения теории вероятности

Первичными понятиям в теории вероятностей являются:

Событие – результат опыта или естественного явления, который может быть получен или не получен при данных условиях

Вероятность – является количественной мерой возможности события при данных условиях.

Если наступление события при данных условиях исключено, то такое событие является невозможным и ему приписывается вероятность равная нулю.

Если событие при данных событиях обязательно наступает, то его называют достоверным и его вероятность равна единице.

Если же событие при данных условиях может наступить, а может и не наступить, то оно называется вероятным и тогда говорят, что оно может произойти с некоторой вероятностью.

Вероятность (Р) наступления некоторого конкретного события прямо пропорциональна числу испытаний-числу испытаний благоприятных для события (тех, при которых оно на c тупает) и обратно пропорционально числу всех равновозможных случаев (благоприятных и неблагоприятных)

Р= m / n

Где m –благоприятные, n -равновозможные

Слайд_2

Основные свойства вероятности

Свойство 1.

Если а,b,........k представляют собой полный набор взаимоисключающих событий, совместно исчерпывающих вероятность и Ра - вероятность события а, то

Ра+Рb+.....+Pk =1 - вероятность любого исхода;

Pa=1 - ( Рb+Pc+.....+Pk) -вероятность события а;

P1 = 1 - Р =Pb+Pc+.....+Pk - вероятность не события а.

Свойство 2.

Если а,b,........k есть множество взаимоисключающих событий, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из них, выражается суммой отдельных вероятностей:

Pa или b = Pa+Pb

Свойство 3. Для любого числа событий a,b,c,.........k, если они независимы, вероятность их одновременного или последовательного наступления равнj произведению их вероятностей:

Pa и b и с ......и k = Pa*Pb*Pc*......Pk

Свойство 4.

Если события не взаимоисключающие, то верятность наступления хотя бы одного событий а или b равна

Pa или b = Pa+Pb-Pa*Pb

Слайд_3

Определение случайной величины

Существует несколько определений случайной величины.

Например: "Под случайной величиной эпсилон поразумевается такая величина, которая в результате единичного эксперимента принимает то или иное заранее неизвестное значение".

Или "под случайной величиной понимается случайный эксперимент с числовым исходом".

В геологии случайная величина является удобной математической моделью для формального представления различных геологических характеристик (содержание литопипов в породах, мощностей, глубин, значений характеристик ФЕС пород-коллекторов и др.)

Слайд_4

Требования в выборке

Для того, чтобы выборка корректно представляла генеральную совокупность, она должна отвечать четырем основным требованиям:

-массовость,

-однородность,

-случайность

-независимость

Слайд_6

Требования в выборке

Массовость (объем выборки) - это достаточное количество проб или наблюдений, необходимое в связи с тем, что большинство статистических закономерностей проявляются только в массовых явлениях. Строго говоря, четкого математического аппарата для выявления необходимого количества проб до сих пор не разработано, но эмпирическим путем установлено, что надежность статистических оценок резко снижается при уменьшении объема выборки в диапазоне от 60 до 30-20 наблюдений, а при меньшем количестве измерений применять статистически еметоды в большинстве случаев вообще не имеет смысла.

Слайд_7

Однородность.

Выборка должна состоять из наблюдений, принадлежащих обному объекту и выполненных одинаковым способом, т.е. при постоянном размере проб и методе анализа и измерения.

Слайд_8

Случайность

Результат выборочного единичного наблюдения должен быть непредсказуем, как бы это не звучало странно. В этом плане подавляющее большинство геологических объектов вполне удовлетворяет этому требованию в силу своей сложности и изменчивости, но математически это требование выполняется лишь тогда, когда расположение места отбора проб или замера какого-либо признака не связано с величиной, характеризующей это свойство.

При серьезных геологоразведочных работах условие случайности обычно достигается за счет проведения наблюдений по равномерной сети. На наиболее перспективных и интересных участках часто возникает необходимость сгущения сети опробования. Многие характеристики на подобных участках зачастую могут отличаться от особенностей площади в целом и при статистической обработке их необходимо выделять в отдельную совокупность.

Слайд_9

Независимость

Независимость предполагает, что результаты каждого наблюдения не зависят от результатов предыдущих и последующих наблюдений, а при проведении наблюдений на площади или в объеме результаты не зависят от координат пространства.

При соблюдении всех вышеперечисленных правил выборка может называться представительной.

Слайд_10

Математическое ожидание

Математическое ожидание ( µ x ) -это ожидаемое истинное значение измеряемой величины. Например, это тот самый результат измерения ВСЕХ галек на пляже. На практике, обычно, это недостижимый результат, примерно такой де, как и предел функции.

Строгое определение математического ожидания представляет собой сумму произведений некоего конкретного значения случайной величины на соответствующему этому значению вероятности его появления:

µ x = ∑( Xi * Pi ) для дискретных величин

или

µ x =∫X*f(x)dx для непрерывных величин

Вполне адекватной заменой математическому ожиданию является среднее арифметическое значение случайной величины:

X ср= ( сумм( Xi))/n

Существуют различные варианты вычисления средних значений (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее логарифмическое, среднее гармоническое и др.).

Необходимо понимать, что, несмотря на стремление среднего к математическому ожиданию, оно не всегда достижимо и, как следствие, не всегда максимально правдоподобно, например, в случае резко асимметричных распределений (например, логнормальных).

Слайд_12

Мода

Мода (М0) случайной величины указывает на ее наиболее вероятное значение, т.е. наиболее часто встречающееся в выборке значение (для дискретной величины) или значение которому соответствует точка максимума на графике плотности вероятности (для непрерывной величины). Если распределение имеет два или более максимумов, то такое распределение называется полимодальным. В большинстве случаев это свидетельствует о неоднородности выборки и требует внимательного обращения с исходными данными (например, разделения на подвыборки).

Слайд_13

Медиана

Медиана (Ме) случайной величины указывает на ее среднее с вероятностью 0,5, т.е. такого значения, относительно которого вероятности встретить большие или меньшие значения равны.

P ( x < Me ) = P ( x > Me )

Фактически, медиана, как ей и положено в геометрии, делит множество возможных значений пополам. Поэтому при относительно небольшом числе наблюдений медиану определить очень просто, достаточно расположить все наши данные в порядке возрастания или убывания и посмотреть, какое значение находится в середине этого ряда.

В общем случае, математическое ожидание (среднее) мода и медиана случайной величины имеют различные значения. Но для симметричных распределений они могут совпадать( что часто используется для оценки закона распределения).

Слайд_14

Стандартное отклонение

На практике наиболее наглядным является квадратный корень из дисперсии - стандартное отклонение. Стандартное отклонение генеральной совокупности: