Величина наращенной суммы за время t с учетом инфляции (индекс инфляции – I(t)p) и номинальной сложной процентной ставки r c m начислениями в год будет рассчитываться по формуле:

, где .                             (3.20)

Следовательно, для ликвидации эрозии капитала, необходимо выполнение неравенства:

 или .

Процентную ставку, при которой имеет место строгое равенство, обозначим r_* и определим ее значение

или .             (3.21)

Ставка r при которой имеет место реальное накопление капитала (r > r_*) называется положительной процентной ставкой.

Если за время t наращения капитала известен годовой темп инфляции h, то годовой индекс инфляции равен

а индекс инфляции за t лет будет   

то формула (3.21) примет вид:

            (3.22)                  

При m = 1, получим

Следовательно, реальное наращение капитала при заданном годовом темпе инфляции h за время t лет будет при ставке

Обеспечение реальной доходности в условиях инфляции

Для обеспечения реальной доходности, согласно коэффициенту наращения a (наращение по процентной ставке r с m начислениями в год) необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить ее на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения a¹ (наращение по процентной ставке r¹ с m начислениями в год) компенсировал потери из-за инфляции. Следовательно, a¹ можно определить из равенства:

или   или

Из последнего выражения, принимая во внимание, коэффициенты наращение по процентной ставке r и r¹ с m - начислениями процентов в год в течении t лет, имеем

                                                  (3.23)

   (3.24)

В случае m = 1, получим формулу Фишера

          (3.25)

Пример.

Банк предлагает клиентам помещать деньги на депозит на один год под 12% годовых с ежеквартальном начислением сложных процентов. Найти реальную доходность такого предложения для клиентов банка, если ежемесячный индекс инфляции прогнозируется равным 1,008.

Решение.

1) Индекс инфляции за 1 год равен (2.15)

2) Из (3.23) определяем реальную доходность

или

Пример.

На вклад 300 000 руб. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оцените сумму вклада через 1,5 года с точки зрения эрозии капитала, если ожидаемый темп инфляции 2% в месяц. Какова должна быть величина положительной процентной ставки?

Решение.

1) Индекс инфляции за 1,5 года (2.15) равен

2) Применяя (3.20), находим сумму вклада с точки зрения эрозии капитала

Тогда реальный доход владельца вклада будет

3) Положительная процентная ставка должна удовлетворять неравенству, следующему из (3.21)

 0,24 (24%).

Замена платежей и сроков их выплат

При замене платежей должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, который в математическом плане записывается системой уравнений.