Применение метода максимального правдоподобия
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

для проверки гипотез

Рассмотрим задачу проверки гипотезы о параметре функции распределения случайной величины.

Пусть распределение случайной величины X определено не полностью, и о некотором параметре а этого распределения мы выдвигаем гипотезу, что он равен a0 (альтернатива состоит в том, что он равен а1).

Пусть по результатам независимых наблюдений за СВ X получена случайная выборка объёмом n: {x1, x2, ..., xn}.

Для оценки правдоподобия гипотезы построим функцию правдоподобия для гипотезы H0: a = a0.

Если X – непрерывная случайная величина, то функция правдоподобия определяется зависимостью

;

если X – дискретная случайная величина, то

Функция правдоподобия выражает вероятность того, что в результате выборки объёма n будут получены значения именно x1, x2, ..., xn , если справедлива гипотеза

H0: a = a0.

Аналогичным образом можно построить функцию правдоподобия  для альтернативной гипотезы

H1: a = a1.


 

Принцип максимального правдоподобия предписывает следующее.

Если

,

то принимается гипотеза H0: a = a0.

В противном случае гипотеза H0 отвергается (принимается альтернативная гипотеза H1: a = a1).

Иными словами, принцип максимального правдоподобия предлагает принимать из двух альтернатив ту, при которой полученная случайная выборка представляется более вероятной.

Этому принципу можно дать более общее описание (объяснение).

Рассматривается некоторый критерий правдоподобия  (в данном частном случае отношение правдоподобия):

Область его возможных значений делится на две:

1) область допустимых значений R1, где

 = Z(x1, ..., xn) > 1,

2) и критическая область R2, где  < 1.

Если найденное по случайной выборке значение отношения правдоподобия попадает в область допустимых значений ( ), то принимается гипотеза H0, если же отношения правдоподобия попадает в критическую область ( ), то гипотеза H0 отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1.

Для удобства вычислений часто вместо отношения правдоподобия пользуются его логарифмом.

В этом случае границей допустимой и критической области является нуль (так как ln1 = 0).

В силу случайности выборки значение критерия правдоподобия также является случайной величиной, зависящей от истинного значения параметра a.

Пусть распределение  нам известно.

Тогда

есть вероятность того, что мы отбросим правильную гипотезу, т.е. совершим ошибку первого рода.

Аналогично

есть вероятность принять неверную гипотезу, т.е. совершить ошибку второго рода.

В случае использования в качестве критерия логарифма отношения правдоподобия ошибки первого и второго рода, соответственно, выражаются в виде:

;  

.


Дата: 2019-03-05, просмотров: 667.