Решение системы методом Крамера
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Рассмотрим систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В матричном виде система имеет вид:

AX = B,

где А – прямоугольная матрица размером :

,

X – вектор порядка n :

B – вектор порядка m :


Определение 1:

Решением системы линейных уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел x1 = c1, x2 = c2 … xn = cn, которая обращает все уравнения системы в верные равенства.

Определение 2:

Прямыми методами решения систем линейных уравнений называются методы, дающие решение системы за конечное число арифметических операций. Если отсутствуют ошибки округления, то полученные решения являются точными. Рассмотрим прямые методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Правило Крамера.

Правило Крамера используют для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Если определитель ∆ = det A матрицы системы из n уравнений с n неизвестными AX = B отличен от нуля , то система имеет единственное решение x1, x2, … , xn, определяемое по формулам Крамера , где  – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы A заменой i – го столбца столбцом свободных членов В.

Пример 3.1:

Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера.

Ниже приведен фрагмент документа Mathcad, решающий поставленную задачу.

Определение матрицы А и вектора В.

  

Вычисление определителя системы:

           


Определение вспомогательных матриц:

         

        

Нахождение решения системы линейных уравнений методом Крамера:

          

      

 



М е т о д обратной матрицы.

Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы запишем ее в матричном виде:

А · Х = В                                                                              (3.1)

Умножая (3.1) на A-1, получим:

A-1AX = A-1B,

откуда следует

X = A-1B

Пример 3.2

Решить систему из предыдущего примера методом обратной матрицы

Решение:

1. Определяем матрицу коэффициентов и вектор правых частей системы:

  

2. Находим решение системы методом обратной матрицы:

X = A-1·B       

3. Делаем проверку:

Эту же задачу можно решить с помощью встроенной функции Mathcad lsolve(A, B).

Аргументы функции: A – матрица системы, В – вектор правых частей.

Ниже приведено обращение к функции lsolve в Mathcad.

X := lsolve(A, B)

М е т о д прогонки

На практике часто встречаются системы линейных уравнений вида:

которые называются системами с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Каждое из уравнений такой системы содержит 3 неизвестных и может быть записано в виде:

,                                               (3.3)

где i=1, 2, …, n, b1 = 0, dn = 0 .

Для решения системы уравнений (3.2) наиболее экономичным по объему затрачиваемой работы является метод прогонки, который учитывает трех-диагональность матрицы системы (3.2).


Будем искать решение системы (3.2) в виде:

,                                                   (3.4)

где  и  – неизвестные пока функции. Подставляя  в (3.3), исключим  и получим:

                         (3.5)

Запишем (3.6) в виде:

                                (3.6)

Из (3.6) следует, что соотношение (1.30) имеет место, если для всех
i = 1,2, … ,n выполняются рекуррентные соотношения:

                                  (3.7)

Т.к. b1 = 0 , то процесс вычисления  и  по формулам (1.6) можно начать со значений:

                                                                      (3.8)

и продолжать для i = 2, 3, …, n. В случае, когда i = n и dn = 0 получим, что:

                                              (3.9)

где  и были вычислены на предыдущем шаге. Далее по формулам (1.5) находят значения .


Таким образом, метод прогонки состоит из 2-ч шагов:

1. Находят прогоночные коэффициенты  и  по формулам (3.7). Этот процесс называется прямой прогонкой.

2. Определяют неизвестные  по формулам (3.6) . Этот процесс называется обратной прогонкой.

На рис. 3.1 приведена блок-схема метода прогонки.

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом прогонки в среде Mathcad.

Пример 3.3

1. Найти решение системы линейных уравнений методом прогонки:

Решение:

Определяем векторы b, c и d, содержащие элементы трехдиагональной матрицы системы:

 

Рис 3.1 – Блок-схема метода прогонки

 

2. Задаем функцию PROGON(b, c, d, r, n), реализующую метод прогонки. Аргументы функции PROGON: b, c, d – векторы, содержащие элементы матрицы системы, r – вектор правой части,
n – число неизвестных.

3. Вызываем функцию PROGON, которая возвращает решение данной системы.

PROGON(b, c, d, r, 5)=







Дата: 2019-02-18, просмотров: 765.