ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

(для студентов направления подготовки 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» по профилю «Автоматизированное управление технологическими процессами» и специальности 21.05.04 «Горное дело», специализация №10 очной, очно-заочной и заочной форм обучения)

Уровень образования: бакалавриат, специалитет

 

 

Рассмотрено

на заседании кафедры "Горная электротехника и автоматика", протокол № 6 от 12.01.2017 г.

 

У т в е р ж д е н о на заседании учебно-методического Совета ДОННТУ, Протокол № 2 от «23» марта 2017 г.

 

ДОНЕЦК

2017


 

УДК 681.3.06.

 

Конспект лекций по дисциплине «Численные методы» (для студентов направления подготовки 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» по профилю «Автоматизированное управление технологическими процессами» и специальности 21.05.04 «Горное дело», специализация №10 очной, очно-заочной и заочной форм обучения. Уровень образования: бакалавриат, специалитет)/ Ткаченко А.Е. - Донецк, ГОУ ВПО «ДонНТУ», 2017 – 75 с.

 

 

Рассмотрены основные теоретические положения дисциплины «Численные методы». Приведены примеры практической реализации решений научно-технических задач численными методами с помощью MathCad.

 

Составители:                                                А.Е. Ткаченко

 

Рецензенты:                                                     С.В. Неежмаков

                                                                 И.А. Молоковский

 

Ответственный за выпуск:       проф. Маренич К. Н.


СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение. 5

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.. 6

1.1 Источники погрешностей. 6

1.2 Абсолютная и относительная погрешности. 7

1.3 Погрешность округленного числа. 8

1.4 Вычислительная погрешность. 9

2 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 11

2.1 Основные определения. 11

2.2 Метод половинного деления (дихотомии). 12

2.3 Метод хорд. 15

2.4 Метод касательных (метод Ньютона) 18

2.5 Встроенные функции Mathcad для нахождения корней. 21

3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 24

3.1 Решение системы методом Крамера. 24

3.2 Метод обратной матрицы. 26

3.3 Метод прогонки. 27

4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 32

4.1 Запись задачи в векторной форме. 32

4.2 Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений. 33

4.3 Решение системы нелинейных уравнений с помощью встроенных функций Mathcad. 37

5 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.. 39

5.1 Постановка задачи. 39

5.2 Интерполяция каноническим полиномом.. 41

5.3 Многоинтервальная интерполяция. 43

5.3.1 Линейная интерполяция. 44

5.3.2. Сплайн-интерполяция. 46

6 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 50

6.1 Дифференцирование функций, заданных аналитически. 50

6.2 Интегрирование функций, заданных аналитически. 52

6.3 Метод Монте-Карло. 56

7 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И СИСТЕМ.. 57

7.1 Основные определения. 57

7.2 Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера. 58

8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.. 66

8.1 Примеры уравнений. 66

8.2 Использование встроенных функций Mathcad для решения уравнений в частных производных. 68

8.3 Решение гиперболических уравнений. 71

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………….74

 

 





Введение

 

При решении инженерных задач инженер сталкивается с необходимостью применять математические знания: решать алгебраические уравнения и системы уравнений, находить экстремумы функций, вычислять производные и интегралы, находить решения дифференциальных уравнений и т.д.

Развитие компьютерной техники позволило инженеру решать сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов. В настоящее время разработаны математические пакеты, позволяющие решать подобные задачи. Одним из таких математических пакетов является Mathcad.

Главными достоинствами пакета Mathcad являются:

· легкость и наглядность программирования задач;

· запись сложных математических выражений в Mathcad совпадает с привычной математической записью;

· простота в использовании;

· возможность создания высококачественных технических отчетов с таблицами, графиками, текстом.

В данном методическом пособии рассмотрены методы решения математических задач с помощью пакета Mathcad. Приведены примеры решения алгебраических и дифференциальных уравнений, численного и аналитического дифференцирования и интегрирования, интерполяции функций. Изложены алгоритмы численных методов и дана их программная реализация в среде Mathcad. Изложение сопровождается примерами. Решение каждого примера сопровождается подробными комментариями.

 

Вычислительная погрешность

 

Будем обозначать абсолютную погрешность числа  как  , относительную погрешность .

Приведем формулы для вычисления погрешностей, возникающих при выполнении арифметических операций над числами х и у.

1) Погрешность суммы

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Аналогично определяется погрешность разности.

2) Погрешность произведения

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

3) Погрешность частного

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

4) Погрешность функции, зависящей от одной переменной

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:


 


М е т о д хорд

Вместо деления отрезка  пополам, как в методе половинного деления, делим его в отношении . Таким образом первое приближение корня находится в точке пересечения отрезка  хордой, проходящей через точки с координатами  и .Если функция меняет знак на отрезке , т.е. , то корень лежит на отрезке , в противном случае корень лежит на отрезке . Выбирая в качестве нового отрезка отрезок  или  продолжаем процесс до тех пор, пока длина отрезка, на котором находится корень, не станет меньше любого наперед заданного числа . Точку c находим следующим образом.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами  и :

Рис 2.3 – Блок-схема метода хорд

Таким образом, алгоритм метода хорд заключается в следующем:

1. Находим точку с по формуле:

2. Если условие пункта 2 не выполняется, то вычисляем произведение . Если , то полагаем , в противном случае полагаем .

3. Если , то завершаем алгоритм. Искомый корень равен с. Корень найден с точностью . В противном случае переходим к пункту 1.

Рассмотрим пример нахождения корня методом хорд.

Пример 2.2

Найти решение уравнения  методом хорд.

Решение:

1. Определяем функцию , равную левой части уравнения:

2. Определяем интервал, на котором находится корень уравнения. Для этого строим график функции :

3. Задаем функцию horda(a, b, ε), определяющую корень уравнения методом хорд.


Эта функция имеет следующие аргументы: a, b – границы интервала, на котором находится корень уравнения, ε – точность вычисления корня. Функция horda возвращает значение корня и количество итераций k, необходимое для достижения заданной точности.

Находим корень уравнения с точностью , используя метод хорд:

horda(–2, –1, 0.001)=


Рис 2.4 – Геометрическая иллюстрация метода касательных

Начальное приближение x0 в методе касательных выбирается следующим образом: если , то x0=a , в противном случае x0=b.

Пример 2.3

Найти корень уравнения методом касательных:


Решение:

1. Определяем функцию , равную левой части уравнения и ее первую и вторую производную.

2. Определяем интервал, на котором находится корень уравнения. Для этого строим график функции (рис. 2.1).

3. Задаем функцию Newton(a, b, ε) (рис.2.4), определяющую корень уравнения методом касательных. Эта функция имеет следующие аргументы: a, b – границы интервала, на котором находится корень уравнения, ε – точность вычисления корня. Функция Newton возвращает значение корня и количество итераций k, необходимое для достижения заданной точности.

4. Находим корень уравнения с точность , используя метод касательных:

Newton(–1, 1, 0.001)=


Рис 2.6. – Программа, реализующая метод касательных.

Пример 2.6.

Найти решение уравнения

Решение:

Строим график функции

f (x) := acos (x)2 – x

x := –2, –1.9..2

Из графика видно, что точка х=1 лежит близко к значению корня. Выбираем ее в качестве начального приближения:

х := 1

Вызываем функцию root.

root(f(x), х)= 0.679

Для нахождения корней полинома используем функцию polyroots(V), которая определяет все корни полинома одновременно. Здесь V-вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. Начальное приближение вводить не надо.

Пример 2.7

Найти корень полинома  численно и аналитически. Выполнить проверку:


Решение:

Определим вектор коэффициентов полинома.

Вызываем функцию polyroots.

polyroots(V)=

Полином имеет следующие корни x1=2, x2=2, x3=5




М е т о д обратной матрицы.

Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы запишем ее в матричном виде:

А · Х = В                                                                              (3.1)

Умножая (3.1) на A-1, получим:

A-1AX = A-1B,

откуда следует

X = A-1B

Пример 3.2

Решить систему из предыдущего примера методом обратной матрицы

Решение:

1. Определяем матрицу коэффициентов и вектор правых частей системы:

  

2. Находим решение системы методом обратной матрицы:

X = A-1·B       

3. Делаем проверку:

Эту же задачу можно решить с помощью встроенной функции Mathcad lsolve(A, B).

Аргументы функции: A – матрица системы, В – вектор правых частей.

Ниже приведено обращение к функции lsolve в Mathcad.

X := lsolve(A, B)

М е т о д прогонки

На практике часто встречаются системы линейных уравнений вида:

которые называются системами с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Каждое из уравнений такой системы содержит 3 неизвестных и может быть записано в виде:

,                                               (3.3)

где i=1, 2, …, n, b1 = 0, dn = 0 .

Для решения системы уравнений (3.2) наиболее экономичным по объему затрачиваемой работы является метод прогонки, который учитывает трех-диагональность матрицы системы (3.2).


Будем искать решение системы (3.2) в виде:

,                                                   (3.4)

где  и  – неизвестные пока функции. Подставляя  в (3.3), исключим  и получим:

                         (3.5)

Запишем (3.6) в виде:

                                (3.6)

Из (3.6) следует, что соотношение (1.30) имеет место, если для всех
i = 1,2, … ,n выполняются рекуррентные соотношения:

                                  (3.7)

Т.к. b1 = 0 , то процесс вычисления  и  по формулам (1.6) можно начать со значений:

                                                                      (3.8)

и продолжать для i = 2, 3, …, n. В случае, когда i = n и dn = 0 получим, что:

                                              (3.9)

где  и были вычислены на предыдущем шаге. Далее по формулам (1.5) находят значения .


Таким образом, метод прогонки состоит из 2-ч шагов:

1. Находят прогоночные коэффициенты  и  по формулам (3.7). Этот процесс называется прямой прогонкой.

2. Определяют неизвестные  по формулам (3.6) . Этот процесс называется обратной прогонкой.

На рис. 3.1 приведена блок-схема метода прогонки.

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом прогонки в среде Mathcad.

Пример 3.3

1. Найти решение системы линейных уравнений методом прогонки:

Решение:

Определяем векторы b, c и d, содержащие элементы трехдиагональной матрицы системы:

 

Рис 3.1 – Блок-схема метода прогонки

 

2. Задаем функцию PROGON(b, c, d, r, n), реализующую метод прогонки. Аргументы функции PROGON: b, c, d – векторы, содержащие элементы матрицы системы, r – вектор правой части,
n – число неизвестных.

3. Вызываем функцию PROGON, которая возвращает решение данной системы.

PROGON(b, c, d, r, 5)=







Где

i, j=1,2, …, n.

Соотношение (4.5) может быть записано в виде:

                                                            (4.6)

Соотношение (5.6) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных , матрица которой равна .

Если det , тогда:

                                                           (4.7)


Отсюда следует основная формула Ньютона:

                                   (4.8)

где за х0 можно взять грубое значение искомого корня. Практически прекращают вычисления по (7), когда:

Алгоритм метода Ньютона:

1. Определяем начальное приближение х0

2. Уточняем значение корня по формуле

3. Если условие  выполняется, то задача решена и  корни векторного уравнения F(х)=0, иначе переходим к п.2

Блок схема алгоритма приведена на рис. 4.1.


Рис.4.1 – Блок схема метода Ньютона



Пример 4.1

Делаем проверку

Решим теперь эту систему графически. Для этого в уравнениях системы (5.9) выразим  через  и на одном чертеже построим графики функций  и . Координаты точек пересечения графиков функций и будут искомыми решениями (см.рис.4.2).

Рис.4.2 – Графическое решение системы уравнений в Mathcad.



ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

 

Постановка задачи

Пусть функция  задана множеством своих значений в точках
 (т.е. таблицей):

Точки  называются узлами интерполяции.

Требуется найти значения функции  в точках ,

Поставленная проблема решается путем приближенной замены функции  другой функцией , заданной аналитическим выражением, которую можно вычислить при любом значении x из заданного интервала.

Приближение функции  более простой функцией  называется аппроксимацией.

Если значения аппроксимирующей функции в узлах интерполяции совпадают с табличными значениями заданной функции , то такой способ введения аппроксимирующей функции  называется интерполяцией.

Таким образом, интерполяцией называется построение аппроксимирующей функции , удовлетворяющей условиям:

                                          (5.1)

Условия (5.1) называются условиями Лагранжа. Интерполяционной функцией называется аппроксимирующая функция , удовлетворяющая условиям Лагранжа. Задача интерполяции в нахождении приближенных значений табличной функции  при аргументах x, не совпадающих с узлами интерполяции, путем вычисления интерполяционной функции .

Если значение аргумента расположено внутри интервала , то нахождение приближенного значения табличной функции  называется интерполяцией, если требуется найти значение аппроксимирующей функции вне интервала , то этот процесс называется экстраполяцией.

Происхождение этих терминов связано с латинскими словами: inter-между, extra-вне, pole-узел.

Геометрически задача интерполяции состоит в построении кривой , которая проходит через заданное множество точек . На рис.5.1. показано построение интерполяционной кривой. Рассмотрим теперь методы построения интерполяционной функции.

Рис.5.1. – Построение интерполяционной кривой



Линейная интерполяция

Кусочно-линейная интерполяция является простейшим видом многоинтервальной интерполяции, при которой исходная функция на каждом частичном интервале  аппроксимируется отрезком прямой, соединяющей точки  и .Запишем уравнение этой прямой.

Уравнение прямой на отрезке  имеет вид .
Для определения коэффициентов a и b воспользуемся условиями  и . Решая эти уравнения, найдем коэффициенты  и .

,

Таким образом, в случае линейной интерполяции интерполяционная функция на каждом из отрезков  определяется по формуле:

В Mathcad’е имеется встроенная функция linterp, осуществляющая линейную интерполяцию. Обращение к этой функции имеет вид linterp(vx,vy,x).

Аргументами этой функции являются два вектора vx и vy, содержащие координаты узлов интерполяции и независимая переменная х.

Рассмотрим пример построения линейной интерполяции в Mathcad.


Пример 5.2.

Для точек (1.1;7.7), (2.8;9.8), (3.7;6.3), (4.1;1.6) построить линейную интерполяцию. По полученной функции найти прогноз в точке x=3.5.

Решение:

1. Задаем координаты узлов интерполяции:

2. Определяем функцию li(x), осуществляющую линейную интерполяцию:

3. Строим график линейной интерполяционной функции:

4. Находим прогноз в точке х=3.5

li(3.5)=7.078




Сплайн-интерполяция

Существенным недостатком линейной интерполяции является то, что в точках стыка разных интерполяционных полиномов оказывается разрывной их первая производная. Этот недостаток устраняется при использовании особого вида много интервальной интерполяции.

Интерполяции сплайнами (англ. spline – рейка, линейка).

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном интервале представляется полиномом некоторой степени, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными. На практике широкое применение получили сплайны третьей степени (кубические сплайны).

На интервале  кубический сплайн можно представить в виде:

,         (5.5)

где - коэффициенты сплайнов; 

- номер сплайна (интервала).

Коэффициенты сплайна определяются из следующих условий:

1)  Условия Лагранжа:

,                                                    (5.6)

2) Условия непрерывности первой и второй производных сплайнов в узлах:

,                                       (5.7)


Кроме этого необходимо задать дополнительные условия на концах интервала, т.е. в точках  и . Если потребовать нулевой кривизны сплайна в этих точках, то дополнительными условиями будут являться равенства нулю вторых производных сплайнов на концах интервала интерполяции:

,                                                             (5.8)

Дополнительные условия могут быть и иными, их выбор зависит от конкретной задачи.

Подставив выражение (5.5) в условия (5.6), (5.7), (5.8), получим систему из 4n уравнений относительно коэффициентов сплайнов . Решив эту систему, определим коэффициенты сплайна.

Интерполяция сплайнами имеет очень простую и наглядную физико-механическую аналогию. Если попытаться совместить упругую металлическую линейку с узловыми точками, то форма, которую примет в этом случае линейка будет совпадать с графиком кубического сплайна (сплошная линия на рис.1). Вне узловых точек, где линейка свободна, она описывается уравнением прямой. Соответствующее поведение сплайна обеспечивается условием (5.8).

Для кубической сплайн-интерполяции в Mathcad используется встроенная функция interp. Обращение к этой функции имеет вид:

interp(vs,X,Y,x)

Функция interp имеет следующие аргументы:

· vs – вектор вторых производных, созданный функцией lspline(X,Y), pspline(X,Y) или cspline(X,Y);

· X – вектор опытных значений аргумента, расположенных

в порядке возрастания;

· Y – вектор опытных значений функции;

· х – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение.

Перед вызовом функции interp необходимо определить первый из ее аргументов – вектор vs. Делается это при помощи одной из трех встроенных функций тех же аргументов Х и Y:

· lspline(X,Y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к прямой линии в граничных точках;

· pspline(X,Y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к квадратичной параболе в граничных точках;

· сspline(X,Y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к кубической параболе в граничных точках;

Выбор конкретной функции сплайн-коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала.

Пример 5.3

Для точек (1.1;7.7), (2.8;9.8), (3.7;6.3), (4.1;1.6) построить кубическую сплайн-интерполяцию. По полученной функции найти прогноз в точке x=3.5.

Решение:

1. Определяем координаты узлов интерполяции:

2. Определяем вектор коэффициентов сплайна:

vs := cspline(X, Y)

3. Строим график кубической сплайн интерполяции:

4. Находим прогноз в точке х=3.5

ls(3.5) = 7.81




Метод Монте-Карло

 

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

Рис 6.4. – К иллюстрации метода Монте-Карло

Сгенерируем N пар случайных чисел в прямоугольнике , .

Тогда доля точек , с условием  является оценкой отношения интеграла от S(x) к площади рассматриваемого прямоугольника.

Оценка интеграла может быть получена по формуле:

где  – число точек, удовлетворяющих условию ,

N – полное кол-во точек, A – площадь прямоугольника



Rkfixed(init, t1, t2, npoints, D).

Аргументы функции:

Init-вектор начальных условий

t1, t2 – начало и конец интервала интегрирования npoints – количество точек разбиений интервала [t1, t2]

D-вектор правых частей дифференциального уравнения или системы

 

Пример

 

Решить задачу Коши с использованием функции rkfixed

1. Задаем правую часть дифференциального уравнения:

2. Вызываем функцию rkfixed:

3. Строим график решения:


Помимо функции rkfixed в Mathcad используется функция rkadapt. Вызов функции rkadapt аналогичен вызову функции rkfixed. Функция rkfixed ищет решение с постоянным шагом. Функция rkadapt проверяет, как быстро изменяется решение и соответственно изменяет шаг интегрирования.

Рассмотренные выше функции позволяют находить решения и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример:

Решить задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале [0,10]:

Решение: 

1. Определяем границы интервала интегрирования:

2. Задаем уравнения и начальные условия

3. Строим график решения системы:




Примеры уравнений

Определение 1: Уравнением с частными производными(УЧП) n-го порядка с m независимыми переменными , называется соотношение между независимыми переменными , неизвестной функцией  и ее частными производными до n – го порядка включительно:

Для упрощения записи мы используем следующие обозначения и т.д.:

Примеры УЧП:

 (одномерное уравнение теплопроводности)

 (двумерное уравнение теплопроводности)

 (трехмерное волновое уравнение)

 (телеграфное уравнение)


Существует множество методов решения уравнений в частных производных. Перечислим некоторые из них:

· Метод разделения переменных

· Метод интегральных преобразований

· Метод преобразования координат

· Численные методы (метод конечных разностей, метод конечных элементов и др.)

· Методы теории возмущений

· Метод функций Грина

· Вариационные методы и др.

1. Основные типы линейных уравнений в частных производных Линейным уравнением в частных производных 2-го порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида:

,

где A, B, C, D, E, F – константы или функции независимых переменных x и y.

Пример:

-  (линейное уравнение)

-  (нелинейное уравнение)

В зависимости от знака величины  уравнения можно отнести гиперболическому, эллиптическому или эллиптическому типу.

Уравнение в некоторой точке будем называть уравнением:

- гиперболического типа, если в этой точке ,

- эллиптического типа, если в этой точке

- параболического типа, если в этой точке


Уравнения параболического типа описывают процессы теплопроводности и диффузии. К параболическому типу относится уравнение . Уравнения гиперболического типа описывают волновые процессы. Примером гиперболического уравнения является .

Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы(т.е. процессы, не зависящие о времени).Уравнением эллиптического типа является уравнение .

Если коэффициенты уравнения не являются постоянными, то оно может иметь разный тип в разных областях. Примером является уравнение: .

Для этого уравнения , поэтому уравнение является эллиптическим при , параболическим при , гиперболическим при гиперболическим при .

 



КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

(для студентов направления подготовки 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» по профилю «Автоматизированное управление технологическими процессами» и специальности 21.05.04 «Горное дело», специализация №10 очной, очно-заочной и заочной форм обучения)

Уровень образования: бакалавриат, специалитет

 

 

Рассмотрено

на заседании кафедры "Горная электротехника и автоматика", протокол № 6 от 12.01.2017 г.

 

У т в е р ж д е н о на заседании учебно-методического Совета ДОННТУ, Протокол № 2 от «23» марта 2017 г.

 

ДОНЕЦК

2017


 

УДК 681.3.06.

 

Конспект лекций по дисциплине «Численные методы» (для студентов направления подготовки 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» по профилю «Автоматизированное управление технологическими процессами» и специальности 21.05.04 «Горное дело», специализация №10 очной, очно-заочной и заочной форм обучения. Уровень образования: бакалавриат, специалитет)/ Ткаченко А.Е. - Донецк, ГОУ ВПО «ДонНТУ», 2017 – 75 с.

 

 

Рассмотрены основные теоретические положения дисциплины «Численные методы». Приведены примеры практической реализации решений научно-технических задач численными методами с помощью MathCad.

 

Составители:                                                А.Е. Ткаченко

 

Рецензенты:                                                     С.В. Неежмаков

                                                                 И.А. Молоковский

 

Ответственный за выпуск:       проф. Маренич К. Н.


СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение. 5

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.. 6

1.1 Источники погрешностей. 6

1.2 Абсолютная и относительная погрешности. 7

1.3 Погрешность округленного числа. 8

1.4 Вычислительная погрешность. 9

2 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 11

2.1 Основные определения. 11

2.2 Метод половинного деления (дихотомии). 12

2.3 Метод хорд. 15

2.4 Метод касательных (метод Ньютона) 18

2.5 Встроенные функции Mathcad для нахождения корней. 21

3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 24

3.1 Решение системы методом Крамера. 24

3.2 Метод обратной матрицы. 26

3.3 Метод прогонки. 27

4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 32

4.1 Запись задачи в векторной форме. 32

4.2 Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений. 33

4.3 Решение системы нелинейных уравнений с помощью встроенных функций Mathcad. 37

5 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.. 39

5.1 Постановка задачи. 39

5.2 Интерполяция каноническим полиномом.. 41

5.3 Многоинтервальная интерполяция. 43

5.3.1 Линейная интерполяция. 44

5.3.2. Сплайн-интерполяция. 46

6 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 50

6.1 Дифференцирование функций, заданных аналитически. 50

6.2 Интегрирование функций, заданных аналитически. 52

6.3 Метод Монте-Карло. 56

7 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И СИСТЕМ.. 57

7.1 Основные определения. 57

7.2 Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера. 58

8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.. 66

8.1 Примеры уравнений. 66

8.2 Использование встроенных функций Mathcad для решения уравнений в частных производных. 68

8.3 Решение гиперболических уравнений. 71

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………….74

 

 





Введение

 

При решении инженерных задач инженер сталкивается с необходимостью применять математические знания: решать алгебраические уравнения и системы уравнений, находить экстремумы функций, вычислять производные и интегралы, находить решения дифференциальных уравнений и т.д.

Развитие компьютерной техники позволило инженеру решать сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов. В настоящее время разработаны математические пакеты, позволяющие решать подобные задачи. Одним из таких математических пакетов является Mathcad.

Главными достоинствами пакета Mathcad являются:

· легкость и наглядность программирования задач;

· запись сложных математических выражений в Mathcad совпадает с привычной математической записью;

· простота в использовании;

· возможность создания высококачественных технических отчетов с таблицами, графиками, текстом.

В данном методическом пособии рассмотрены методы решения математических задач с помощью пакета Mathcad. Приведены примеры решения алгебраических и дифференциальных уравнений, численного и аналитического дифференцирования и интегрирования, интерполяции функций. Изложены алгоритмы численных методов и дана их программная реализация в среде Mathcad. Изложение сопровождается примерами. Решение каждого примера сопровождается подробными комментариями.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Дата: 2019-02-18, просмотров: 517.