Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

Ответ: .

Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

После возведения его в куб получим неравенство

Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит к освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

Пусть требуется решить неравенство вида:

(1)

или

(2)

Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое назовем соответствующим

(3)

Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых промежутков и , , , , - корни уравнения (3).

Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут промежутки , , , , .

Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции . Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

возведем уравнение в куб:

Так как по условию выражение должно равняться , то, сделав соответствующую замену, получим:

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: и .

Проверка 1.

- ложно, корень - посторонний.

Проверка 2.

- истинно, - корень уравнения.

Областью определения неравенства является множество действительных чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых промежутка:

и .

Взяв любое число (например, ) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим . Значит, числовой промежуток не входит в решение неравенства. Значение , взятое из числового промежутка , обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток является решением неравенства.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Решим соответствующее уравнение

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

сделаем подстановку получим уравнение

Отмечаем корни на числовой оси

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому рассматриваем три числовых промежутка: , , . Пусть , тогда - ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток не входит в решение. Пусть , тогда - истинное числовое неравенство и числовой промежуток входит в решение. Аналогично, числовой промежуток тоже входит в решение.