Содержание
1. Введение
2. Постановка задачи
Нахождение собственных чисел и построение ФСР
Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера
Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда
6. Построение общего решения матричным методом
7. Задача Коши для матричного метода
Решение неоднородной системы
Графики
Заключение
Введение
Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:
(1)
где коэффициенты аij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;
yi=yi(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.
Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор 
через 
тогда систему (1) можем переписать в матричной форме
(1а)
Если 
, то получаем соответствующую систему однородных уравнений
. (2)
Всякая совокупность n функций
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:
справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.
Постановка задачи
Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:
; 
; 
Задание
1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.
5. Решить задачу Коши.
Начальные условия:
Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
t = 0
Задача Коши для матричного метода
Необходимо из всех решений системы уравнений найти такое решение, в котором y(i)(t) принимает заданное числовое значение y0i в заданной точке, т.е. найти значения сi для следующих заданных значений: x=0, y=[1, 2, 3,4].
В вектор решений y(t) подставляем заданные условия и решаем полученную систему относительно c1, c2, c3, c4 :
В результате получаем:
При подстановке c1, c2, c3, c4 в общее решение получим решение в форме Коши:
Сделаем проверку, подставив общее решение в исходную систему
:
Получился нулевой вектор 
. Следовательно, найденная матрица является решением исходной системы.
Графики
Изобразим графически точное частное решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для начальных условий: t0 = 0, y0 = [1, 2, 3, 4].
Сравним график одной функции вектора точного решения и одной функции вектора приближенного решения с 3-мя, 5-ю и 7-ю членами ряда:
Где 1 – график приближенного решения для трех членов ряда; 2 – график приближенного решения для шести членов ряда; 3 – график приближенного решения для девяти членов ряда; 4 – график точного решения.
Можно сделать вывод:
С увеличением числа членов ряда, число совпадения членов ряда с точным решением будет увеличиваться, область совпадения будет расти.
Заключение
В ходе проделанной работы было изучено 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. По сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост в реализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши, которая была использована для нахождения частного решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий.
Для установления правильности проведенных вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученных решений в исходную систему уравнений.
Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функции пакета:
1. EIGENVALUES (A, 
) – вычисление собственных чисел матрицы A с последующей записью в вектор 
.
2. SOLVE (Pm=0, ) – решение уравнения Pm=0, где Pm – полином степени m: Pm=p0* m p1* m-1+…+pm-1* 
+pm, а - переменная, относительно которой решается данное уравнение.
3. EXACT_VECTOR(A, 
) – вычисление точного собственного вектора матрицы А и размещение этих значений в .
4. DIF(A,x,n) – дифференцирование A по x n раз.
5. SUM(M,n,f,g) – вычисление суммы M по n изменяющимся с f до g.
6. VECTOR(u,k,n)– задание (вычисление) вектора значений при k изменяющемся от 1 до n.
А также функции меню:
1. SOLVE/SYSTEM –решение системы с последующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений и переменных, относительно которых решается данное уравнение.
2. Simplify > Expand– раскрытие выражений.
Команда Expand используется для раскрытия математических выражений.
Expand expression: #n: где n – номер строки выражения (операнда).
Expand Variable: #n .
В этом варианте команды необходимо указать имя переменной, по которой будет проведено преобразование. Если по всем -<Enter>.
3. Для построения графиков использовали функцию 2D-plot.
Содержание
1. Введение
2. Постановка задачи
Нахождение собственных чисел и построение ФСР
Дата: 2019-07-24, просмотров: 188.
