Содержание
Введение
§1. Постановка Транспортной задачи (ТЗ) для n переменных
§2. Пример решения Транспортной задачи
§3. Транспортные задачи по различным критериям
§4. Решение транспортной задачи в Excel
Список литературы
Введение
Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в практических приложениях линейного программирования. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования – области математики, разрабатывающей теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.
Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным путем. Применение математических методов и вычислительных в планировании перевозок дает большой экономический эффект. Транспортные задачи могут быть решены симплексным методом однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его получить оптимальное решение.
В зависимости от способа представления условий транспортной задачи она может быть представлена в сетевой (схематичной) или матричной (табличной) форме. Транспортная задача может также решаться с ограничениями и без ограничений.
Пример решения Транспортной задачи
Метод потенциалов представляет из себя модификацию симплекс-метода, учитывающую специфику транспортной задачи, поэтому его алгоритм не отличается от алгоритма симплекс-метода, за исключением шага проверки целевой функции на неограниченность на множестве решений. Отсутствие указанного шага в методе потенциалов обусловлено теоремой о том, что закрытая ТЗ всегда разрешима. Итак, алгоритм метода потенциалов для решения ТЗ состоит из следующих шагов:
ШАГ 1. Построение начального плана перевозок.
ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.
Если план оптимален, то алгоритм завершен.
ШАГ 3. Улучшение плана перевозок. Переход к шагу 1.
Транспортные задачи по различным критериям
Содержание
Введение
§1. Постановка Транспортной задачи (ТЗ) для n переменных
§2. Пример решения Транспортной задачи
§3. Транспортные задачи по различным критериям
§4. Решение транспортной задачи в Excel
Список литературы
Введение
Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в практических приложениях линейного программирования. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования – области математики, разрабатывающей теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.
Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным путем. Применение математических методов и вычислительных в планировании перевозок дает большой экономический эффект. Транспортные задачи могут быть решены симплексным методом однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его получить оптимальное решение.
В зависимости от способа представления условий транспортной задачи она может быть представлена в сетевой (схематичной) или матричной (табличной) форме. Транспортная задача может также решаться с ограничениями и без ограничений.
Постановка Транспортной задачи (ТЗ) для n переменных
Пусть имеется несколько поставщиков однородной продукции (каждый с определенным запасом) и несколько потребителей этой продукции (с известными потребностями у каждого). Задана также сеть коммуникаций (дорог, рек, воздушных линий и т.д.) связывающая каждого поставщика с каждым потребителем. На каждой коммуникации задана цена перевозки – стоимость перевозки единицы продукции. Если какая – либо коммуникация отсутствует, то считаем, что она есть, но цену перевозки на ней устанавливаем равной бесконечности (+∞). Это соглашение сделает невыгодным перевозку по ней и автоматически исключит данную коммуникацию из плана перевозок.
Таким образом, требуется составить план перевозок продукции от поставщиков к потребителям так, чтобы потребности потребителей были бы удовлетворены за счет вывоза запаса от поставщиков. Цель – минимизация суммарной стоимости всех перевозок.
Транспортные задачи бывают:
1) открытые m ≠ n (суммарный запас продукции, имеющейся у поставщиков, не совпадает с суммарной потребностью в продукции у потребителей.)
2) закрытые m = n (суммарный запас продукции, имеющейся у поставщиков, совпадает с суммарной потребностью в продукции у потребителей.)
Метод потенциалов «работает» только для закрытых ТЗ, причем, закрытая ТЗ всегда разрешима.
Открытую ТЗ сводят к закрытой ТЗ путем прибавления к суммарному запасу продукции или суммарной потребности продукции недостающих единиц до равенства суммарного запаса продукции и суммарной потребности продукции.
Закрытая транспортная задача формулируется как Задача Линейного Программирования (ЗЛП) следующего вида:
, где
- запас i – го поставщика
- потребность j – го потребителя
- цена перевозки единицы продукции по коммуникациям (i,j)
(от i – го поставщика к j – му потребителю)
- объем перевозки продукции (неизвестный) по коммуникациям (i,j).
Для вывода критерии оптимальности транспортной задачи построим двойственную задачу.
Структура матрицы ограничений транспортной задачи такова, что столбец, соответствующей переменной содержит ровно два ненулевых элемента: единицу в строке с номером i и единицу в строке m + i.
Вектор двойственных переменных Y = ( 
,…, 
, 
,…, 
) имеет m + n компонент (по числе ограничений ТЗ), которые называются потенциалами: переменные , 
,…, - потенциалы поставщиков; переменные , 
…, - потенциалы потребителей.
Используя схему для построения двойственной задачи к ЗЛП в стандартной форме, имеем: 
В полученной двойственной задаче n·m ограничений, соответствующих каждой переменной ТЗ. Вспоминая, что невязка между левой и правой частью в ограничений двойственной задачи есть оценка для соответствующей переменной исходной задачи , запишем условия оптимальности текущего плана перевозок в ТЗ:
.
Неизвестные потенциалы 
и 
(их общее количество равно m + n) могут быть найдены (и именно так отыскиваются) из условия равенства нулю оценок для базисных переменных (заполненных клеток таблицы) ТЗ (таких равенств (m+n - 1), что следует из замечания ниже).
для заполненных клеток (i,j) таблицы ТЗ.
Решение полученной системы (содержащей неизвестных на единицу больше, чем число уравнений) ищется, когда одно из неизвестных (вообще говоря, любое) полагается равным некоторому числу (тоже, вообще говоря, любому). После этого оставшаяся система имеет единственное решение.
Пример решения Транспортной задачи
Метод потенциалов представляет из себя модификацию симплекс-метода, учитывающую специфику транспортной задачи, поэтому его алгоритм не отличается от алгоритма симплекс-метода, за исключением шага проверки целевой функции на неограниченность на множестве решений. Отсутствие указанного шага в методе потенциалов обусловлено теоремой о том, что закрытая ТЗ всегда разрешима. Итак, алгоритм метода потенциалов для решения ТЗ состоит из следующих шагов:
ШАГ 1. Построение начального плана перевозок.
ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.
Если план оптимален, то алгоритм завершен.
ШАГ 3. Улучшение плана перевозок. Переход к шагу 1.
Дата: 2019-07-24, просмотров: 175.
