Среде

Плотность замедления

Плотность замедления q ( E ) представляет собой число нейтронов в едини­це объема, энергия которых изменяется за единицу времени от значения выше Е до некоторой энергии ниже Е.

Эта функция характеризует скорость, с которой нейтроны, замедляясь, пере­секают некоторую данную энергию Е. Можно представить себе функцию q по аналогии с потоком жидкости как скорость потока нейтронов, движущихся по энергетической шкале. Плотность замедления имеет одно и то же значение в любой шкале, если измерения производятся при соответствующих друг другу величинах Е, ν или и, т.е. q ( E )= q ( v )= q ( u ).

Рассмотрим бесконечную среду без поглощения нейтронов, в которую не­прерывно и равномерно по всему пространству вводятся нейтроны с энергией E₀  со скоростью S ₀ нейтронов в единицу времени и в единицу объема. В этой среде устанавливается стационарное состояние и число нейтронов в любом данном энергетическом интервале ∆Е и данном объеме будет постоянным во времени. Все нейтроны, вводимые в среду с энергией E₀, замедляются до неко­торой энергии ниже Е, поэтому q ( E ₀ )= S ₀ .

В стационарном состоянии число нейтронов, попадающих при замедлении в данный интервал энергии, должно быть при отсутствии поглощения равно числу нейтронов, покидающих при замедлении этот интервал, то есть нейтроны не накапливаются ни при какой энергии и ни в какой промежуток времени. Таким образом, для E < E ₀ :

q ( E + dE )= q ( E ) или   и q ( E )= const

Если использовать начальное условие, то q ( E )= S ₀ . Следовательно, плотность замедления, по этой модели, не зависит от энергии.

Определим соотношение между плотностью потока и плотностью замедления. R ( u ) du = Σ_S ( u )Ф( u ) du - полное число рассеяний нейтронов, энергии которых кат в интервале du около и, отнесенных к единице объема и единице времени.

Эту же величину можно также получить с помощью плотности замедления q(u), т.е. R ( u ) du = q ( u ) , где — есть среднее число рассеяний, выводящих нейтроны из интервала du . Приравняв эти выражения, получим q ( u )=ξΣ _S ( u )Ф( u ) ( в случае бесконечной чисто рассеивающей среды).

С учетом Ф(Е)dE=-Ф(u)du,    получим q ( E )= ξEE_S ( E )Ф( E ).

Спектр замедляющихся нейтронов в водородсодержащей среде без поглощения

Наиболее простая картина замедления нейтронов наблюдается в бесконечной гомогенной замедляющей среде, состоящей только из атомов водорода (ε=0, ξ=1), и в отсутствие поглощения нейтронов. В такой среде нейтрон после каждого столкновения сохраняется и с одинаковой вероятностью приобретает любую энергию меньше исходной. Хотя в процессе замедления нейтроны рас­секаются по объему вещества, в случае равномерно распределенных источни­ков по как угодно большому объему в любой единице объема число нейтронов с данной энергией будет одинаковым.

Для нахождения энергетического распределения нейтронов воспользуемся равнением баланса нейтронов в интервале энергии dE .

Число нейтронов, исчезающих из интервала dE в результате рассеяний, которые изменяют энергию нейтрона до величины, выходящей за пределы интервала, в стационарном состоянии равно числу нейтронов, которые попадают в от интервал в результате рассеяний из области энергии Е’>Е.

Так как Σ_а=0, то убыль нейтронов из интервала dE обусловлена только рассеянием нейтронов и равна скорости рассеяний в интервале dE — Σ _S E)Ф(E)dE. Плотность потока замедляющихся нейтронов обычно относится к единичному энергетическому интервалу и является функцией энергии; [Ф(E)]=1/(см с эВ); Ф( E ) dE — плотность потока нейтронов, энергия которых лежит в интервале Е÷ E + dE .

Доля нейтронов с начальной энергией E '≤ E ₀ , попадающих в результате столкновения с ядром в энергетический интервал dE , представляет собой отношение ширины этого интервала к полной ширине ступеньки замедления (1-ε)Е'. Для водорода ширина такой ступеньки равна Е' и указанная доля равна dE / E '.

Число столкновений в интервале dE ' при энергии Е' равно . Число нейтронов, попавших в dE из dE ', равно ,  а из всего интервала от E до E ₀ равно .

Число нейтронов, испытавших (после рождения от источника) первое рас­сеяние при энергии E ₀ , равно S ₀ . Число нейтронов, попавших в интервал dE по­сле первого рассеяния, равно S ₀ ( dE / E ₀ ).

Уравнение баланса нейтронов:

иначе

Продифференцировав уравнение по Е, получим

Решение уравнения есть

а константа С определяется подстановкой решения в интегральное уравнение при Е=Е₀; C = S ₀ .

Окончательное решение для среды из атомов водорода имеет вид

Спектр замедляющихся нейтронов в произвольной среде без поглощения

При замедлении в средах с ξ<1 при энергиях близких к E ₀ , возникают осо­бенности в распределении Ф(Е), однако при снижении Е особенности исчезают и распределение плотности потока описывается асимптотическим выражением

 - спектр Ферми.

В промежуточной области  поэтому плотность потока замед­ляющихся нейтронов обратно пропорциональна энергии. Причина такого уве­личения в том, что при замедлении уменьшается средняя потеря энергии на столкновение  и, чтобы пройти единичный интервал энергии, требуется больше актов рассеяния.

Плотность замедления в среде без поглощения постоянна и равна мощности источников:

Спектр Ферми в шкале летаргии

Если источник - нейтроны деления, спектр Ферми справедлив при u>5, для моноэнергетического — при любом и.

 Спектр замедляющихся нейтронов в водородсодержащей среде с поглощением

Уравнение замедления при учете поглощения нейтронов усложняется. Допустим, что замедлитель - водород, а поглотителя мало:

Уравнение баланса нейтронов

 Дифференцируя данное уравнение, получим

Решение этого уравнения

Спектр нейтронов можно записать в следующем виде:

В выражении для плотности потока нейтронов появился дополнительный экспоненциальный множитель, меньший единицы. Этот же множитель появля­ется и в выражении для плотности замедления q ( E ), что означает, что до энер­гии Е доходят не все нейтроны, а только часть их, не поглотившаяся при более высоких энергиях.

Физический смысл коэффициента φ: это отношение числа нейтронов, дос­тигших энергии Е при замедлении, к числу нейтронов, которые начали процесс замедления. Так как поглощение происходит в основном в резонансной области, то φ - вероятность избежать резонансного поглощения при замедлении нейтронов до энергии Е (произвольной энергии).

Сечение поглощения возрастает вблизи энергии каждого резонанса, соот­ветственно возрастает полное сечение . Это обусловливает снижение плотности потока нейтронов (рис.6.4). После прохож­дения резонанса сечение  восстанавлива­ется до  и соответственно восстанавлива­ется плотность потока. Однако плотность потока составляет долю φ' от плотности потока без резонанса, если вероятность из­бежать резонансного поглощения в данном резонансе есть φ'.

Выражение для плотности потока за­медляющихся нейтронов при использова­нии летаргии

Если в среде без поглощения Ф(u)=const, то при наличии - гладкая функция, убывающая с возрастанием и.

Спектр замедляющихся нейтронов в произвольной среде с поглощением

Спектр нейтронов в такой среде записывается в виде

Если среда - смесь, то используется усредненная величина ξ( ξ → ξ).

Спектр нейтронов в реакторе

Замедляющиеся нейтроны распределены по энергетическому спектру, близ­кому к спектру Ферми. В результате замедления нейтроны становятся тепло­выми. В реакторах на тепловых нейтронах плотность потока всех тепловых нейтронов и плотность потока нейтронов всех остальных энергий примерно равны. Соответственно концентрация тепловых нейтронов много больше, чем нетепловых.

Тепловые нейтроны при столкновениях с ядрами среды также теряют свою энергию либо приобретают - в зависимости от величины и направления скоро­сти ядер-мишеней. При этом некоторая часть тепловых нейтронов будет иметь энергию, меньшую средней энергии теплового движения ядер среды, а другая часть — большую. Установление теплового равновесия между нейтронами и яд­рами среды называется термализацией. Граница между областями замедления и термализации определяется, глав­ным образом, температурой среды - при 300 К E_гр=0,2 эВ, при 1000К Е_гр=0,625 эВ.

Энергетическое распределение тепловых нейтронов в слабо поглощающих средах является распределением Максвелла:

где   эВ^-1 - доля тепловых нейтронов в единице объема в единичном энергетическом интервале, имеющих энергию Е; п₀ - полное число тепло­вых нейтронов в единице объема; T—абсолютная температура среды;

k=8,62 10^-5 эВ/К - постоянная Больцмана.

Данное распределение показано на рис.6.5. Средняя энергия спектра Мак­свелла равна (3/2) k Т, а энергия максиму­ма распределения (наиболее вероятная энергия) — (1/2) k Т [5]. За стандартную тепловую энергию Е_ст принимают энер­гию k Т, что удобно, поскольку k Т— па­раметр распределения Максвелла. При

нормальной температуре T=T_Н=293 К  (20° С) kT=0,025 эВ, что соответствует скорости нейтронов 2200 м/с. В табли­цах сечений приводятся значения при стандартной энергии Е_ст при нормаль­ной температуре.

Средняя энергия тепловых нейтро­нов оказывается несколько выше средней энергии теплового движения молекул среды. Это означает, что теплового равновесия нейтронов с молекулами среды не устанавливается. Причина заключается в поглощении нейтронов, а скорость поглощения выше при меньших скоростях нейтронов. Кроме того, происходит пополнение их числа со стороны более высоких энергий при замедлении. Тем не менее, распределение нейтронов близко спектру Максвелла, но соответст­вующему более высокой температуре, чем температура среды. Эта темпера­тура нейтронного газа Т_НГ равна:

где  — макроскопическое сечение поглощения тепловых нейтронов при энер­гии k Т; ; - замедляющая способность среды с энергией 1 эВ [7].