Теорема І (Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.

Теорема ІІ (Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке  функция  достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и . Тогда функция принимает любое значение из отрезка .

Задача для самостоятельного решения

1. Существует ли непрерывное отображение

А) отрезка на интервал;

Б) интервала на отрезок?

2. Попробуйте построить взаимно однозначное отображение отрезка на интервал.

Равномерная непрерывность

Определение. Функция  называется равномерно непрерывной на отрезке , если .

В этом случае  зависит только от  и не зависит от выбора точек , подойдет .

Построим отрицание равномерной непрерывности:  существуют , (или принадлежащие множеству ) такие, что хотя .

Замечание 1. Равномерная непрерывность – это свойство функции, рассматриваемое на множестве точек, а не в отдельных точках.

Замечание 2. Если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку , то получится определение непрерывности функции  в точке . Таким образом, из равномерной непрерывности функции  на множестве  следует её непрерывность в каждой точке этого множества.

Замечание 3. Из непрерывности функции  на множестве  не следует её равномерная непрерывность на этом множестве.

Геометрическая интерпретация равномерной непрерывности функции

Если функция  равномерно непрерывна на , то , такое, что прямоугольник со сторонами  и , параллельными осям  и , можно так переместить вдоль графика этой функции, сохраняя параллельность сторон осям координат, что график не будет пересекать сторон прямоугольника, параллельных оси , а будет пересекать лишь стороны, параллельные оси  (рис. 4).            

Пример 1. Исследовать на равномерную непрерывность функцию  на .

Решение. Фиксируем . Ищем , такое, чтобы  с условием  должно выполняться .                Рис. 4 – Понятие равномерной

Преобразуем последнее неравенство,             непрерывности

оценив знаменатель .

Неравенство приняло вид , откуда нашли .  – равномерно непрерывна на .

Пример 2. Исследовать на равномерную непрерывность  на .

Решение. Фиксируем . Искать не будем, а покажем, что равномерной непрерывности нет.

Возьмем , ,  при этом ,

А расстояние  можно сделать меньше любого .

Равномерной непрерывности для  на  нет.

Однако замечательно то, что на замкнутом промежутке такого быть не может.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

Производная