1. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (лат. conjunctio — связываю):

· в естественном языке соответствует союзу и;

· обозначения: &, Ç;

· в языках программирования обозначение: and;

· иное название: логическое умножение.

Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. (Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька»).

2. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (лат. disjunctio — различаю):

· в естественном языке соответствует союзу или;

· обозначение: Ú , È ;

· в языках программирования обозначение: or;

· иное название: логическое сложение.

Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол E острый истинно, так как обязательно истинно одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол E острый». В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

3. Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (лат. implicatio — тесно связываю):

· в естественном языке соответствует обороту «Если ..., то ...»;

· обозначение: Þ , ® ;

· иное название: логическое следование.

Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Например, высказывание “если число 12 делится на 6, то оно делится на 3”, очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка “ Число 12 делится на 6” и истинно заключение “Число 12 делится на 3”.

Употребление слов “если…, то…” в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание “Если х, то y” вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида “ если х, то y” в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение y вытекает из предложения х. Употребление слов “если…, то…” в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл содержания высказываний не рассматривается.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме “Если х, то y”. Если при этом известно, что х истинно, и доказана истинность импликации , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения y.

4. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (эквиваленция) (лат. аequivalens — равноценное):

· в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае;

· обозначение: Û , «,  ~ ;

· иное название: равнозначность.

Эквивалентность – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Например, эквиваленция “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P = Q” является истинной, так как высказывания “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный” и “В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ” P = Q” либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Эквивалентность играет большую роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, т.е. в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного их двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы делаем заключение об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

5. Логическая операция СЛОЖЕНИЕ ПО МОДУЛЮ ДВА:

· обозначение: Å , + ;

· вычисление значений: значения простых высказываний складываются арифметически, результат делиться на 2 нацело, в качестве значения операции берется остаток от деления.

Сложение по модулю два — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда одно из двух образующих его высказываний истинно, а другое – ложно, и ложным, когда оба высказывания либо истины, либо ложны.

6. Логическая операция ОТРИЦАНИЕ.

Отрицанием высказывания Х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание Х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания Х обозначается  и читается «не Х» или «неверно, что Х». Логические значения высказывания  можно описать с помощью таблицы:

Пусть Х высказывание. Так как  также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется ДВОЙНЫМ ОТРИЦАНИЕМ высказывания Х. Ясно, что логические значения высказываний  и Х совпадают.

Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».

7. Логическая операция Стрелка Пирса  « ¯ » — отрицание конъюнкции.

8. Логическая операция Штрих Шеффера «/» — отрицание дизъюнкции.

Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, отрицание, &, Ú , Þ , Û , Å, ¯, /.

Пример. Определите истинность простых высказываний:

А  =  {Принтер – устройство вывода информации},

В  =  {Процессор – устройство хранения информации},

С  =  {Монитор – устройство вывода информации},

D  =  {Клавиатура – устройство обработки информации}.

Определите истинность составного высказывания: ( & ) & (C Ú D ).

На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А  =  1, В  =  0, С  =  1, D  =  0.

Определим сначала истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

( & ) & (1 Ú 0)  =  (0&1) & (1 Ú 0)  =  (0 & 1) & (1 Ú 0)  =  0 & 1  =  0.