Задумаемся над таким вопросом, можно ли обобщить комплексные числа, например, создать систему с двумя мнимыми единицами и числами вида .

       В системе комплексных чисел задана так называемая в алгебре билинейная операция умножения векторов плоскости. Линейное отображение, которое мы раньше ещё называли линейный оператор,  переводит 1 вектор в 1 вектор: . Билинейное отображение даёт результат для пары объектов, . Так как выполняется дистрибутивность, то есть можно раскрыть скобки в случае, когда объект на первом или втором месте есть сумма двух других, то отображение линейно по каждому аргументу, поэтому оно и называется билинейным.

       При фиксировании одного из элементов, получается действие только на 2-й элемент, т.е. линейное отображение (линейный оператор) действующий по закону . Например, умножение на  в комплексной плоскости приводит к повороту на 90⁰. 

Если линейный оператор задаётся плоской квадратной матрицей порядка n, то для билинейной операции фактически можно построить n линейных операторов: умножение на . Тогда в итоге получается объёмная матрица из n³ элементов.

Например, чтобы задать умножение в комплексной плоскости, надо задать умножения всех базисных элементов друг на друга. Можно это записать в виде символьной таблицы:

	1
1	1

Если записать в векторном виде, используя обозначения , , то есть не акцентируя на том что это комплексная плоскости, а просто в общем виде как действия с геометрическими векторами плоскости, то таблица запишется так:

Но можно записать подробнее, учитывая все кординаты (те, которых нет, соответствуют 0):

Но фактически здесь  векторов, а значит  констант. Если откладывать вниз координаты каждого вектора, а в верхнем слое поместить основание матрицы, то получится вот такая 3-мерная матрица:

Рассмотрим две матрицы, являющиеся сечениями - они выделены жёлтым. Это линейный оператор умножения на 1 и умножения на . И здесь одна матрица единичная (задаёт тождественный оператор) а вторая задаёт поворот плоскости на 90⁰. 

 и .

Докажем, что невозможно задать 3-мерную систему, так, чтобы при этом соблюдались известные базовые арифметические свойства. Например, докажем, что в 3-мерной системе (и в любой системе нечётной размерности) всегда есть делители нуля.

Теорема. Не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.

Доказательство (ДОК 26). Допустим, что существует система с двумя мнимыми единицами, где числа вида . Умножение на 1 сохраняет любой объект. Отразим это в таблице умножения базисных единиц:

	1
1	1
			*
		*	*

Здесь осталось 3 элемента, помеченных *, которые ещё надо задать, а именно, . Как бы мы их не задали, в любом случае, умножение на какой-либо фиксированный элемент данной системы - это линейный оператор в 3-мерном пространстве: . Ему соответствует какая-то плоская матрица из 9 элементов . Существует её определитель . Таким образом, можно поставить некое число в соответствие каждой точке пространства. Определитель матрицы умножения на данный элемент отождествляет с элементом данной системы, т.е. с точкой 3-мерного пространства. Таким образом, в 3-мерном пространстве задана непрерывная скалярная функция. Но ведь умножение на противоположный элемент  соответствует оператору, у которого матрица состоит из чисел с противоположным знаком. Это матрица . Так как она порядка 3, то , т.к. коэффициент  выносится из каждой строки, а их всего 3, нечётное количество. Соединяя точки  по сфере, получаем дугу, на которой функция изменяется от  до . Тогда существует какая-то точка , где данная функция обращается в 0. Таким образом, линейный операторв умножения на  является вырожденным оператором, ведь определитель его матрицы равен 0. А если оператор вырожденный, то существует вектор в пространстве, который отображается в 0. Тогда

. Таким образом, , но . То есть, в 3-мерной системе обязательно существуют делители нуля - такие ненулевые элементы, которые при умножении порождают 0.

Аналогичное верно и для любой нечётной размерности, так как для неё .

Кватернионы.

Указанные выше причины не препятствуют построению числовых систем в случае чётной размерности. Так, если сделать по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида  из пары комплексных чисел, где второе умножено ещё на какой-то объект , то получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.

При этом  это мы изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей.

Получается антикоммутативная система с умножением:

, , ,        , , .

. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным. Получается таблица:

Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.

	1
1	1

Обратите вниание, что законы умножения в системе кватернионов , ,  легко запомнить, если представить с помощью цикла:

При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Ещё обратите внимание, что мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. Там тоже , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикулярк ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка. Векторное умножение было придумано Гамильтоном в 1843 году как раз одновременно с системой кватернионов.

Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если  то . При этом , то есть можно также ввести понятие модуля кватерниона:  = .

Подробнее о том, почему получается .

 =

 =

 но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все  эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся .